之前说了泰勒公式的来历，我们这里继续说下如何直观理解泰勒公式的代数形式，以及泰勒公式最重要的收敛半径。

从泰勒公式的定义开始吧：

泰勒公式的定义看起来气势磅礴，高端大气。如果的话，就是麦克劳伦公式，即，简单起见，我们下面着重讨论麦克劳伦公式，可以认为和泰勒公式等价。

多说一句，麦克劳伦公式是泰勒公式非常特殊的一种情况，最早出现的时候麦克劳伦也说了，这个就是来源于泰勒公式的，没有丝毫创新。不过好像大家都视而不见，直接冠名给了麦克劳伦。历史上的一笔糊涂帐。不过也好，我们有了一个简便的名词“麦克劳伦公式”来进行下面的讨论。

麦克劳伦公式：，不看余项，展开的话就是：，这些都是常数，我们暂时不管，先看看其中最基础的组成部分，幂函数有什么特点。

根据观察可以得到幂函数的特点：

那幂函数要是组合起来，组合成多项式的图像会是怎么样的呢？

我们来动手试试看看通过改变系数可以如何改变图像：

Created with GeoGebra

可以看出我们通过调整系数，可以让图像在和摇摆，就好像弯铁丝一样。如果有更多的幂函数进行组合，只要我们想，还可以弯出一个心形，来送给你（虽然是隐函数，意思一下）：

通过举个例子，帮助你进一步理解。

是周期函数，有非常多的弯曲，难以想象可以用多项式进行逼近。

。

同样的，我们再增加一个试试。

可以看到在适当的位置，改变了的弯曲方向，最终让更好的逼近了。

好了我们来动手感受下如何被多项式逼近的，并且感受一下不同的展开点会导致什么不一样：

Created with GeoGebra

关于泰勒公式，之前有一个同学问了我一个问题：

这个看似简单的问题，牵扯到一个我认为非常漂亮的数学结论，如果要我说什么让我体会到了数学之美，我一定会选择这个数学结论。

下面我就借着这个问题来讲解一下让我觉得非常动人的这个数学结论。

泰勒公式可以把可导的函数展开为幂级数：

下面叙述中，我可能把泰勒公式、泰勒级数、泰勒展开这三个名字进行混用，请依据上下文自行判断（数学看多了，说话写字都会有点强迫症，希望尽量严格些）。

我们对进行泰勒展开：

什么叫做奇点？比如对于这个函数：

不光不可导点是奇点，没有定义的点也是奇点，比如：

还有一个更奇怪的奇点：

通过奇点来判断泰勒级数的收敛，这就是我说的那个非常漂亮的数学结论，由柯西证明的泰勒级数的收敛半径：