先简短地回答下我对“什么是导数”的认识:导数是用来找到“线性近似”的数学工具。
下面我来解释一下,为什么我是这样认为的。
在我学习微积分的过程中,我对导数的认知经历了三次变化:
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导数是变化率、是切线的斜率、是速度、是加速度
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导数是用来找到“线性近似”的数学工具
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导数是线性变换
我认为第一种认知比较片面,在多元函数的情况下甚至是错误的。第二种认知更接近微积分的本质,第三种认知是为了实现第二种认知发展出来的。
因为种种原因,我们的学习都是从第一种认知开始的。我会在本文分别介绍一下这三种认知。最后会通过第三种认知回答“多元微积分中,可微函数的切线为什么会共面(此平面即切平面)?”
微积分的发明人之一是牛顿,牛顿主要还是研究物理为主,微积分不过是他发明出来研究物理的一个数学工具(大师就是这么厉害)。
因为牛顿研究物理的缘故,所以牛顿用变化率的方式引入了导数(牛顿称之为“流数”)。
在物理里面变化率还是很自然的概念,比如为了求瞬时速度:
同理,求加速度的话就是求速度对于时间的变化率,这里就不赘述了。学习物理的一般习惯把导数看作变化率。
还可以顺便得到了切线的斜率:
我们一般是上面这样的学习过程,所以我们认为,导数是曲线的变化率、是瞬时速度、是加速度,还可以是切线的斜率。
1.1 但是!
把导数看作是变化率、是切线的斜率,在一元函数的时候是正确的,但是,敲黑板,说但是了哈。
在二元函数中,比如这样一个曲面上的一点:
在曲面上可以做无数条过点的曲线(图上随便画了三根):
把导数看作是变化率、是切线的斜率,在多元函数中是片面的,甚至是不正确的。
我们必须要重新审视“导数是什么”这个问题。
顺便说一下,把导数继续看作变化率,切线的斜率,可以得到偏导数、方向导数、全导数,可以参看我之前写过的一个回答:
什么是全导数?。
讲这个之前,我们要先理解微积分的基本思想。这个思想在我的很多回答中都提到了,这里简单的阐述下。
2.1 微积分的基本思想
微积分的基本思想是“以直代曲”:
“以直代曲”的意思就是,切线可以在切点附近很好的近似曲线:
我觉得下面这幅图也挺有意思,如果在曲线上多选几个点,都作出附近的切线,我们可以透过切线看到曲线的轮廓:
这里我希望给你一个直观印象,切线可以在切点附近很好的近似曲线。如果仔细看泰勒公式、洛必达法则等,还会通过代数发现这一事实。
2.2 导数是用来找到“线性近似”的数学工具
因为“以直代曲”是微积分的基础,所以我们首要任务就是要找到这个“直”,也就是切线,也就是所谓的“线性近似”。导数就是为了完成这个任务需要使用的数学工具。
我们来看看,在一元函数中:
因此,在一元函数中,我们把导数看作斜率,可以找到我们想要的“线性近似”(切线),但是在二元中,我们需要新的技术手段。
3.1 二元函数的“线性近似”
导数最主要的目的是找到“线性近似”,在一元函数的时候是要找到切线,在二元函数的时候是要找到一个切平面(可以参考我之前的回答:
如何理解全微分?):
一个平面是没有斜率的概念的,因此我们不能把导数继续看作斜率了,我们需要别的方法来找到这个切平面。
3.2 线性变换
对线性代数不熟悉的话,可以先看下我之前的回答
什么是仿射变换?。下面就会用到大量的线性代数基础知识,我不再进行解释了。
还是从一元的时候开始推:
上图的指向右边,实际上求出的是右导数,我换个方向就可以求出左导数:
如果,相当于左右导数相等,我们就称为此点可导。
二元函数的时候,有无数的方向(不像一元的时候只有左右两边):
我们把这些分别记为,那它们的切线分别为:
导数分别就是(可以理解这些都是方向导数)。
为什么就是导数?不是还没有完成找到切平面的任务吗?
3.3 通过导数来找到切平面
首先,所有的肯定是共面的:
因为此点可导,即所有的的导数都是,所以变换后的结果也共面(线性变换的特点是,变换前是共面的,变换后也是共面的):