行列式的本质是什么?

行列式就是线性变换的伸缩比。
先说答案:行列式是线性变换的伸缩因子。
理解行列式一定要从线性变换出发去理解,直接去理解它的代数形式是没有意义的。
这篇文章的结构是:
  • 线性变换的几何直观
  • 实现线性变换的矩阵
  • 行列式
1 线性变换的几何直观
线性变换的几何直观有三个要点:
  • 变换前是直线的,变换后依然是直线
  • 直线比例保持不变
  • 变换前是原点的,变换后依然是原点
比如说旋转:
比如说推移:
这两个叠加也是线性变换:
自己动手试一下(观察下是否符合之前的三个要求):
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2 实现线性变换的矩阵
矩阵可以讲的东西非常多,我这里通过一个具体的例子来展示下矩阵是如何完成线性变换的。
我把基画出来的原因是因为矩阵变换的其实是基。
举例子来看看,比如旋转(旋转矩阵):
如果要说详细点,实际上:
我们只需要旋转基,就可以完成正方形的旋转:
下面我们看看正方形的旋转过程中,旋转矩阵和基是怎样变化的(为了方便观察旋转,我标记出一个顶点):
Created with GeoGebra
再给一个例子,看看推移是怎么改变基的:
3 行列式
3.1 行列式是线性变换的伸缩因子
我们还是拿旋转矩阵来举例子:
什么意思?我们来看看:
在继续往下面讲之前,我设计了一个动画,让你来感受一下,变换矩阵的行列式由正到负,线性变换会怎样进行(我把基也标注出来):
Created with GeoGebra
掌握了行列式是线性变换的伸缩因子这一点之后,我们就很容易理解各种行列式的值与线性变换的关系。
3.2
,很显然对于图形有放大的作用:
,图形的大小不会变换:
,很显然对于图形有缩小的作用:
3.3
行列式等于0,有一个重要的结论是,矩阵不可逆。这点也很好理解。
先看看什么是可逆。原始的图形是这个样子:
通过旋转矩阵,逆时针旋转
再通过另外一个旋转矩阵,顺时针旋转
看起来这个正方形就像没有变换过一样,因此互为逆矩阵。
有的线性变换是可逆的,有的不行,比如行列式=0这样的线性变换就是不可逆的。从图像上看,图形会缩成一点:
或者缩成一条直线:
没有矩阵可以把它们恢复成原来的样子。
这就好比摔碎的鸡蛋、泼出去的水、破了的镜子:
所谓覆水难收、破镜难圆就是这个意思。
3.4
原始图像是这样的:
的矩阵线性变换后是这样的:
,其实就是改变了基的“左右手法则”。
4 推论
知道了行列式的意义,我们就很容易知道,为什么说:
我们也很容易知道,为什么说:
这是因为:
我们也很容易知道,为什么说三阶矩阵的行列式是列组成的平行六面体的体积。
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