连续与可导
设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上有定义，在开区间$(a,b)$上可导，则:
当$f(a)f(b) < 0$时，存在$\varepsilon\in(a,b)$，使得$f(\varepsilon)=0$
对任何$\varepsilon\in(a,b)$,有$\displaystyle\lim_{x\to\varepsilon}[f(x)-f(\varepsilon)]=0$
对$f(a)=f(b)$时，存在$\varepsilon\in(a,b)$,使得$f'(\varepsilon)=0$
存在$\varepsilon\in(a,b)$,使$f(b)-f(a)$=$f'(\varepsilon)(b-a)$
乍一看，很像拉格朗日中值定理。
结合到物理模型，它的画风应该是这样的：
咦，不对，题目说的是在闭区间$[a,b]$上有定义，而原定理是在闭区间$[a,b]$上连续。
连续变成了有定义，那么画风是不是变成了这样：
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拉格朗日中值定理的结论是:
$f(b)-f(a)=f'(\epsilon)(b-a)$
$a,b$两个端点的函数值$f(a),f(b)$参与了运算。
如果$a,b$不连续，等式肯定不成立。放到物理模型上说，就是起点和终点不在路径上。
因此拉格朗日中值定理的条件必须是闭区间连续，开区间可导。
A答案：当$f(a)f(b) < 0$时，存在$\varepsilon\in(a,b)$，使得$f(\varepsilon)=0$
这零点定理的结论。但零点定理的前提是闭区间连续，与题目所给条件不符，错误。
B答案：对任何$\varepsilon\in(a,b)$,有$\displaystyle\lim_{x\to\varepsilon}[f(x)-f(\varepsilon)]=0$
这是连续的基本定义。
而$\varepsilon$在开区间$(a,b)$内。根据可导必连续的原则，此点一定连续。正确
C答案：对$f(a)=f(b)$时，存在$\varepsilon\in(a,b)$,使得$f'(\varepsilon)=0$
这是罗尔中值定理的结论，但零点定理的前提是闭区间连续，与题目所给条件不符，错误。
D答案：存在$\varepsilon\in(a,b)$,使$f(b)-f(a)$=$f'(\varepsilon)(b-a)$
这是拉格朗日中值定理的结论，但拉格朗日中值定理的前提是闭区间连续，与题目所给条件不符，错误。
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