积分上限函数的一道图像题
设函数$y=f(x)$在区间$[-1,3]$的图像如图所示：
则函数$\varPhi (x)=\int _0^ xf(t)dt$的图形为
本题正确答案是D
1 本题考点
1.1 函数可积的充分条件
《高等数学》书上给出了两个充分条件：
- 设$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上可积
- 设$f(x)$在$[a,b]$上有界，且只有有限个间断点，则$f(x)$在$[a,b]$上可积
1.2 积分上限函数
对于可积函数$f(x)$，我们可以给出它在$[a,b]$的定积分（笼统的说就是求面积）：
定积分本来是一个确定的数值，但是如果让上限$b$变为自变量$x$，那么就变成了积分上限函数，所以积分上限函数实际上是定积分的推广：
顺便说下，下限为变量，或者上下限都为变量，我们统称为变限函数。
1.3 积分上限函数的性质
在这道题中，我们主要用到两个性质：
- 如果$f(x)$在$[a,b]$上可积，则$\int _ a^ x f(t)dt$在$[a,b]$上连续
- 如果$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$\frac{d}{dx}\int _ a^ x f(t)dt=f(x)$
第一个性质，我们直观来感受下：
第二个性质说明，$f(x)$在$[a,b]$上连续的情况下，$\int _ a^ x f(t)dt$是$f(x)$的原函数。
第二个性质要多说一句，$f(x)$在$[a,b]$上有震荡间断点的情况下，$\int _ a^ x f(t)dt$也有可能是$f(x)$的原函数。
2 题目解析
这道题因为没有给出具体的函数式，所以我们只能用排除的办法来作答。
首先判断出，函数$y=f(x)$在区间[-1,3]的图像符合可积的条件：
所以根据积分上限函数的性质，$\int _0^ x f(t)dt$必定连续，所以排除答案B。
其次，因为$y=f(x)$有两个跳跃间断点，因此图像应该有两个不可导的点，所以排除答案A。
最后，根据很简单的性质，$\int _0^0 f(t)dt=0$，因此必定过$(0,0)$点，所以排除答案C。
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