阅读提示，这篇文章是在 如何理解行列式的本质 的基础上作答的。

先说答案：

• 「秩」是图像经过矩阵变换之后的空间维度
• 「秩」是列空间的维度

下面分别解释这两个答案，前者更直观，而后者是前者的原因。

1 「秩」是图像经过矩阵变换之后的空间维度

这是比较直观的一个角度。

我们通过旋转矩阵$\begin{bmatrix} cos(\theta ) & -sin(\theta ) \\ sin(\theta ) & cos(\theta ) \end{bmatrix}$进行变换：

因此，旋转矩阵的「秩」为2。

我们通过矩阵$\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$进行变换：

因此，此矩阵的「秩」为1。

我们通过矩阵$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$进行变换：

因此，此矩阵的「秩」为0。

所以，「秩」是图像经过矩阵变换之后的空间维度。

要解释为什么，我们需要另外一个角度的答案。

2 「秩」是列空间的维度

首先看下什么是列空间。

2.1 列空间

我们通过旋转矩阵来解释什么是列空间：

通过改变$a,b$的值，可以用$a\vec{i'}+b\vec{j'}$来表示二维平面上的所有点：

可以自己动手试试：

所以，列空间就是矩阵的列向量所能张成（即通过$a\vec{i'}+b\vec{j'}$来表示）的空间。

列空间的维度就是「秩」，旋转矩阵的列空间是二维的，所以「秩」就为2。

那么这种定义方式怎么和之前说的「秩」是图像经过矩阵变换之后的空间维度联系起来呢？

2.2 矩阵的变换目标是列空间

有这么一个矢量：

我把基画出来的原因是因为矩阵变换的其实是基。

举例子来看看，比如旋转（旋转矩阵$T_{rotate}=\begin{bmatrix} cos(\theta ) & -sin(\theta ) \\ sin(\theta ) & cos(\theta ) \end{bmatrix}$)：

如果要说详细点，实际上：

2.3 两种定义方式的联系

用旋转矩阵对二维的正方形进行线性变换，实际上是一个二维空间到另外一个二维空间的变换：

对于矩阵$\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$，他的列空间是一维的：

因此，这个矩阵的「秩」就是1，用它对二维的正方形进行线性变换，实际上是一个二维空间到另外一个一维空间的变换：

同理，矩阵$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$的列空间是个点，因此它的「秩」就是0。

3 关于严格性的一个问题

上面我说矩阵的「秩」是列空间的维度，这并非完全正确的。

列空间的维度准确来说，是「列秩」，行空间的维度是「行秩」，但是，还好有，「秩」=「列秩」=「行秩」是恒成立的。所以直接把「列秩」称为「秩」也不算错误。

4 最后

了解了秩，就很容易回答下面这个问题。

我们知道矩阵是做线性变换的，比如说一个$3\times 2$的矩阵：

从图像上看：

被一个$3\times 2$的矩阵变换到了三维空间：

那么，通过$3\times 2$的矩阵能否把一个二维正方形：

变换为一个三维正方体呢？