关于这个问题,我觉得挺有意思的,进行了一番深入思考,先给出答案:
二次积分的每一次积分不一定有几何意义。
我先来厘清下要讨论的问题。
在$xy$坐标系下:
这种类似扇形的面积在$xy$坐标下不好求,所以一般都换到极坐标下去求解,因此我们有公式如下:
$$\displaystyle \mathop {\iint }_{D}dxdy=\mathop {\iint }_{D'}\rho d\rho d\theta $$
其中$D$为$xy$坐标下的积分区域,$D'$为极坐标下的积分区域。
对于,重积分$\displaystyle \mathop {\iint }_{D'}\rho d\rho d\theta $,我们一般都可以划为二次积分来进行计算:
想想下面这样一道简单的物理题我们怎么计算:
答案很简单:
$$m=(a\times b)\times c$$
其实这个答案的计算方法有很多种:
上面的二次积分就可以进行这样的类比:
所以,代数运算的计算方法有很多,我们没有办法要求所有的计算步骤都有明确的意义。
3.1 不同积分区域下算出来的面积不同
要求这个图形的面积:
所以我们把它换到$\rho \theta $坐标系:
可是我们就算通过肉眼,通过图像来判断,大概也知道:
$$\displaystyle \mathop {\iint }_{D}dxdy\ne \mathop {\iint }_{D'}d\rho d\theta $$
我们拿一个圆来算一下就知道了:
这种不相等是怎么造成的呢?
打个不那么恰当的比方,我在$xy$坐标系下计算时,好比使用的是“米”这个单位进行计算,但是在$\rho \theta $坐标系下计算时,却使用的是“英尺”这个单位。
因此,在方便的$\rho \theta $坐标系下算出的面积,需要通过一次“单位换算”才能得到$xy$坐标系下的面积。
3.2 “单位换算”求解的思路
我们要搞的事情是:
我们需要一个“单位换算”的办法。
之前我在我的回答中反复说过,微积分的基本思想是“线性近似”,正是因为这一特点,让这一复杂的问题变得简单(所以说,可微的函数的性质是多么良好啊):
这就是求解的思路。
3.3 具体的计算
我们知道,行列式是线性变换的伸缩因子(可以参看我的回答: 行列式的本质是什么? ),因此我们可以得到下面的结论:
这个线性变换的$T$是多少呢?这就是雅可比矩阵:
计算下极坐标的雅可比行列式是多少:
所以:
准确来讲,$\rho $不过是线性变换的伸缩因子,而$\rho d\theta $代表弧长,具有几何意义,不过是个巧合而已。
前面我们说了,$\rho $不过是线性变换的伸缩因子,而$\rho d\theta $代表弧长,不过是个巧合而已。
下面我举另外一个例子,就可以更清楚的看到这一点:
进行下面这样的坐标变换:
进而得出转换的行列式:
因此有:
$$\displaystyle \mathop {\iint }_{D}dxdy=\mathop {\iint }_{D'}\frac{u}{(1+v)^2}dudv$$
可以看出:
可以自己拖动下图中绿色的点,感受下在换元过程中,面积微分会如何变化: