如何进行定积分估值？
利用积分估值定理计算$\iint \limits _ D xyd\sigma $的范围，其中D是由直线$y=1,x=2$及$y=x$所围成的区域。
$[1,4]$
$[\frac{1}{2},2]$
$[0,2]$
答案为：$[\frac{1}{2},2]$
1 积分估值定理
积分估值定理是对连续函数求积分的积分值估算。
1.1 一元函数的积分估值定理
如果函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，$ab$长度为$L$，且$m$和$M$分别是$f(x)$在$[a,b]$上的最小值和最大值，则$mL\leq \int _ a^ b f(x)dx\leq ML$这就是一元函数的积分估值定理
一元函数的积分估值定理
在一元函数中积分是求面积：
积分估值定理的几何意义是说这个面积在两个矩形之间。
面积$S$在以$L$为底，高分别为$m,M$的两个矩形之间。
$mL\leq \int _ a^ b f(x)dx\leq ML$
来简单证明一下：
利用积分求面积，是将曲线下的区域分割成无数份，然后再来求面积之和。
求面积最大值，我们可以将各个矩形的高都变为函数的最大值。
Created with GeoGebra
求面积最小值，我们可以将各个矩形的高都变为函数的最小值。
Created with GeoGebra
就得到了$mL\leq \int _ a^ b f(x)dx\leq ML$
1.2 二重积分的积分估值定理
如果函数$f(x,y)$在有界闭区域$D$上连续，区域$D$的面积为$S$，且$m$和$M$分别是$f(x,y)$在$D$上的最小值和最大值，则$mS\leq \iint \limits _ D f(x,y)d\sigma \leq MS$这就是二重积分的估值定理
二重积分的积分估值定理
对比一元函数，二重积分的估值定理，只是将面积的估算变为了体积的估算。
所有柱体的体积就是所求的积分，证明方法和一元函数几乎一样。
我们换个角度来看这个图
是不是感觉和上面也没什么区别。只是底下那条边表示的是面积。
我们也可以很容易的证明到：$mS\leq \iint \limits _ D f(x,y)d\sigma \leq MS$
2 题目讲解
题：利用积分估值定理计算$\iint \limits _ D xyd\sigma $的范围，其中D是由直线$y=1,x=2$及$y=x$所围成的区域。
2.1 先画出积分区域D
计算积分区域$D$的面积$S$,$S=\frac{1}{2}$
2.2 计算$xy$的范围
如上图，因为$x,y$为正数，并且$y\leq x\implies yx\leq x^2$，$y=x$时取等号。
$x$的取值范围为$[1,2]$，我们可以得到
在$x=2,y=2$时取得最大值$M=xy=4$
在$x=1,y=1$时取得最小值$m=xy=1$
2.3 利用积分估值定理估值
$mS\leq V \leq MS$
得到$\frac{1}{2}\leq V\leq 2$
$\iint \limits _ D xyd\sigma $的取值范围为$[\frac{1}{2},2]$
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