f(x)在x=a处可导的一个充要条件是？

马同学

设在的某邻域内有定义，则在处可导的一个充分条件是：

存在

这种问题是考我们对可导的定义，我们回忆一下导数的在点处可导的充要条件是什么，简单点说，就是：

的极限存在。

从这个充要条件出发我们来分析下各个选项。

A:存在

我们先变一下形，变成标准形式，令：

=。

变形之后很明显了，这只是单边极限，肯定不符合可导的定义。

B:存在

我们先变一下形，变成标准形式：

之所以会产生疑问，我猜是因为：

，其中是一个无穷小量，我们把它认为是0，可以忽略。

但是，同学们啊，虽然是一个无穷小量，否则根据无穷小量的定义，除了实数0以外，，其中。

关于无穷小，可以看下这篇文章：无穷小量是否为0？

回头看看可导的定义，明确说了，所以，那么实际B选项求的不是点的导数，而是离点很近的一个点(点)的导数。

还有同学说，这么做也是极好的：

肯定是错的，关键是错在哪里：

或许你还是心有不甘，我们看一个反例就知道了。

来看一个函数图像：

我们直观来感受下它的左右极限，左极限：

右极限：

这个函数在点处，就是存在的，但是很明显点处导数是不存在的。

C:存在

我们先变一下形，变成标准形式，令：

。

所以C选项实际上和B选项是一致的，求的也不是点处的导数。

同样的我们也给出一个反例：

右极限

想象一下的时候，极限是存在的。同样的道理的时候极限存在并且左右极限相等。

所以，存在,但是在x＝0处没有导数。

最后，D答案是正确的，不相信就自己变换一下标准形式。

关注马同学

微信公众号：matongxue314

马同学机器学习

马同学图解数学

关注马同学

微信公众号：matongxue314