相似矩阵的定义是：

我们先说通过人话来说明什么是相似矩阵，然后来看看相似矩阵的几何意义，最后再解释为什么这个代数式就代表了相似矩阵。

1 用人话来解释相似矩阵

今天《速度与激情8》上映了，我坐在第一排看电影：

而你坐在最后一排看电影：

我们看的是同一部电影，但是我们各自眼中看到的电影却因为位置不同而有所不同（比如清晰度啊、角度啊），所以说，“第一排看到的电影”和“最后一排看到的电影”是“相似”的。

通过上面的类比，我们可以粗略的说，矩阵是对运动的描述，那么相似矩阵就是对于同一个运动，在不同视角下的描述。

2 相似矩形的几何意义

梵高画下名作向日葵的时候，是不需要计算器和直尺的，有《正在作画梵高自画像》为证：

但是，为了进行代数计算，我需要给这个向量一个坐标，这个坐标取决于使用的是什么基（不同基下的原点是一样的）：

所以，$A,B$矩阵实际上对应的是同一个变换，只是在不同基下完成的，因此$A,B$就被称为：相似矩阵。

下面让我们来阐述一下相似矩阵的代数细节，让我们从矩阵的左乘说起。

3 矩阵左乘的几何意义

下面注意保持头脑清醒，我要在基之间搞事情了。

举一个具体的例子进行讲述：

我们这样来计算：

把$\vec{i'i},\vec{j'j}$作为列向量，就可以得到变换矩阵$P=\begin{bmatrix} \vec{i'i} & & \vec{j'j} \end{bmatrix}$：

同理，我们要把基从$\vec{i},\vec{j}$变换回$\vec{i'},\vec{j'}$，只需要知道$\vec{i},\vec{j}$在$\vec{i'},\vec{j'}$下的坐标就能得到变换矩阵，变换矩阵实际上就是$P^{-1}$。

综上，我们可以说矩阵的左乘就是“搞基”的：

4 相似矩形代数式的几何解释

理解了矩阵的左乘，再理解相似矩阵的代数式就很简单了。

我们这就来解释下什么是：

$$P^{-1}AP=B$$

为了方便讲解，我们规定$P$是把基从$\vec{i'},\vec{j'}$变换到$\vec{i},\vec{j}$的矩阵，这个规定并不妨碍一般性。

下面的图像都非示意图，是真正根据数学公式计算出来的。

好了，开讲：

左乘$P$：

左乘$A$：

左乘$P^{-1}$：

所以对于同一个变换，$A$是在$\vec{i},\vec{j}$下的矩阵，$B$是在$\vec{i'},\vec{j'}$下的矩阵。

5 为什么需要相似矩阵

这就好比，在直角坐标系下，圆的方程为：

而在极坐标系下，圆的方程更简单：

同样的，我们在线性代数中，经常利用相似矩阵，在不同的基下，把“难看”的矩阵转为“好看”的矩阵（比如对角矩阵），因为它们的相似性，所以并不会影响研究结果，只会简化计算，并且可以把很多问题转化为已经解决过的问题。