积分比较定理的习题
设平面区域D由$x=0,y=0,x+y>\frac{1}{4},x+y=1$围成，若：
$I_1=\iint \limits _ D [ln(x+y)]^3dxdy$
$I_2=\iint \limits _ D (x+y)^3dxdy$
$I_3=\iint \limits _ D [sin(x+y)]^3dxdy$
那么$I_1,I_2,I_3$的大小关系为？
$I_1 < I_2 < I_3$
$I_3 < I_2 < I_1$
$I_1 < I_3 < I_2$
$I_3 < I_1 < I_2$
本题正确答案为C:$I_1 < I_3 < I_2$.
本题考的是定积分的比较定理。
1 定积分比较定理
如果在D上，$f(x,y)\leq g(x,y)$,则 $\iint \limits _ D f(x,y)d\sigma \leq \iint \limits _ D g(x,y)d\sigma $
二重积分可以看作求体积，公式为底面积$S_ D$乘以高
对于两个函数$f(x,y),g(x,y)$底面积相同，高与函数值相关，$f(x,y)\leq g(x,y)$, $h_ f\leq h_ g$。可以得到$\iint \limits _ D f(x,y)d\sigma \leq \iint \limits _ D g(x,y)d\sigma $
对于本题来说，积分区域如下图：
得到，$\frac{1}{4}\leq x+y \leq 1$
进而得到，$ln(x+y)\leq 0 < sin(x+y) < x+y$：
$[ln(x+y)]^3\leq 0 < [sin(x+y)]^3 < (x+y)^3$
由定积分比较定理可以知道：
$\iint \limits _ D [ln(x+y)]^3dxdy < \iint \limits _ D [sin(x+y)]^3dxdy < \iint \limits _ D (x+y)^3dxdy$
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