通过奇偶性快速计算定积分
$f(t)$为连续函数，$D$是由$y=x^3,y=1,x=-1$围成的区域：
则$\iint \limits _ D xyf(x^2+y^2)dxdy=?$
-2
2
0
本题答案为0。
本题考奇偶性对积分的影响。
1.1 一元函数的奇偶性
回顾一下一元积分：$\int _{-a}^ a f(x)dx$
如果$f(x)$是奇函数，$\int _{-a}^ a f(x)dx=0$
如果$f(x)$是偶函数，$\int _{-a}^ a f(x)dx=2\int _{0}^ a f(x)dx$
1.2 二重积分奇偶性的影响
对于二重积分同样有类似的性质。
若积分区域$D$关于$y$轴对称，且被积函数$f(x,y)$关于$x$有奇偶性。以偶函数为例。图像大概是这样：
图中，我们用$y=a$去截曲面，所得的图形如下。
所得的曲线是关于$x$的偶函数。转换到$x-z$坐标系下
可以得到$\int _ A^ Bf(x)dz=2\int _ O^ Bf(x)dz$
改变a的值，可以发现，无论a取什么值，得到的都是偶函数：
Created with GeoGebra
我们可以得到$\iint \limits _{D_1} f(x,y)d\sigma =\iint \limits _{D_2} f(x,y)d\sigma $
1.3 结论
若积分区域$D$关于$y$轴对称，且被积函数$f(x,y)$关于$x$有奇偶性：
- 如果为偶函数，$\iint \limits _ D f(x,y)d\sigma =2\iint \limits _{D_1} f(x,y)d\sigma $
- 如果为奇函数，$\iint \limits _ D f(x,y)d\sigma =0$
同理：
若积分区域$D$关于$x$轴对称，且被积函数$f(x,y)$关于$y$有奇偶性
- 如果为偶函数，$\iint \limits _ D f(x,y)d\sigma =2\iint \limits _{D_1} f(x,y)d\sigma $
- 如果为奇函数，$\iint \limits _ D f(x,y)d\sigma =0$
4 题目讲解
将积分区域划为如图4个区域
$D_1,D_2$关于$y$对称，$D_3,D_4$关于$x$对称，
并且$xyf(x^2,y^2)$关于$x,y$都是奇函数。
所以$\iint \limits _{D_1} xyf(x^2+y^2)dxdy+\iint \limits _{D_2} xyf(x^2+y^2)dxdy=0$,
$\iint \limits _{D_3} xyf(x^2+y^2)dxdy+\iint \limits _{D_4} xyf(x^2+y^2)dxdy=0$
所以得到$\iint \limits _ D xyf(x^2+y^2)dxdy=0$
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