积分与路径无关的习题
设函数$P(x,y),Q(x,y)$在单连通区域$D$内有一阶连续偏导数，$L$为$D$内曲线，则曲线积分$\int _ L Pdx+Qdy$与路径无关的充要条件是：
$Pdx+Qdy$是某一函数的全微分
$\displaystyle \oint _ C Pdx+Qdy=0$,其中$C:x^2+y^2=1$在$D$内
$\displaystyle \iint \limits _{x^2+y^2 \leq 1}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=0$
$\displaystyle \iint \limits _ D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=0$
正确答案为A
本题考的是曲线积分与路径无关的充要条件的判别。
$\int _ L Pdx+Qdy$在区域$D$中与路径无关的充要条件为：
- 区域$D$中，任意两点$A,B$和任意两条从$A$到$B$的曲线$L_1$,$L_2$,$\int _{L_1} Pdx+Qdy=\int _{L_2}Pdx+Qdy$恒成立
- $\oint _ C Pdx+Qdy=0$,$C$为区域$D$中的任意闭曲线
- 在单连通区域$D$中,$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$
- $Pdx+Qdy$为某一函数的全微分
我们来看一下本题的其他选项，它们都犯了同样的错误，少了任意性。
B选项：$\displaystyle \oint _ C Pdx+Qdy=0$,其中$C:x^2+y^2=1$在$D$内。改为$C$是区域$D$中的任意闭曲线。就正确。
C,D选项：二重积分$\iint $符号下的区域应该是区域$D$的任意子区域。
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