本题答案选B

格林公式可以将线积分和面积分联系起来。

$\displaystyle \oint _ L Pdx+Qdy=\iint \limits _ D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$

我们来看本题的选项：

A:$\displaystyle \frac{1}{2}\oint _ L xdy-ydx$

$P=-y,Q=x$

$\displaystyle \frac{1}{2} \iint \limits _ D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\frac{1}{2} \iint \limits _ D 2dxdy = \iint \limits _ D dxdy$，成立。

B:$\displaystyle \oint _ L xdy+ydx$

$P=y,Q=x$

$\displaystyle \oint _ L Pdx+Qdy=\iint \limits _ D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy= 0 $,不成立。

C: $\displaystyle \oint _ L xdy$

$P=0,Q=x$

$\displaystyle \oint _ L Pdx+Qdy=\iint \limits _ D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\iint \limits _ D dxdy$,成立。

D:$\displaystyle \oint _ L ydx$

$P=-y,Q=0$

$\displaystyle \oint _ L Pdx+Qdy=\iint \limits _ D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\iint \limits _ D dxdy$，成立。

总结：对于格林公式：$\displaystyle \oint _ L Pdx+Qdy=\iint \limits _ D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$

这道题的关键在于找到可以令$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = 1$的P和Q的取值。这样的取值我们可以找到无数组。例如$P=2y,Q=3x$同样满足条件。面积我就可以写成：$\oint _ L 3xdy+2ydx$。