复合函数的连续性
设$f(x)$和$\varphi (x)$在$(-\infty ,+\infty )$内有定义，$f(x)$连续且$f(x)\neq 0$,$\varphi (x)$有间断点。则必有间断点的函数是：
$\displaystyle \varphi [f(x)]$
$\displaystyle f[\varphi (x)]$
$\displaystyle [\varphi (x)]^2$
$\displaystyle f(x)\varphi (x)$
1 本题考点
2 考点讲解
2.1 内外都连续
两个都是连续的情况我们就不说了，复合的结果是连续的。
2.2 内层不连续，外层连续
内层是不连续函数，我怎么让它变得连续呢？比如下面这个函数：
要“焊”起来很简单，$x^2\implies (-1)^2=(1)^2$，这就“焊”起来了（本题要求$f(x)\neq 0$，那么$f(x)=x^2+1$也是一样可以的）：
“焊接”效果是这样的：
2.3 外层不连续，内层连续
那么外层是不连续函数，我怎么让它变得连续呢？比如下面这个函数：
我们控制内层函数的值域，选取外层函数连续的部分就可以了：
怎么选取呢？$f(x)=sin(x)+2$的值域就是$[1,3]$,就可以来选取：
选取结果：
2.4 内外都不连续
我们有“焊接”和“选取”这两种手段之后，要处理内外不连续也很简单了，就不赘述了。
3 解题
来看一下本题的关于复合函数的A、B、C这三个答案在知识点中的位置分布：
可以看出三个答案都有可能连续、或者间断，所以只能选D。
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