本题主要考的是等价无穷小的替换，判断是否能够替换需要用到泰勒展开。

等价无穷小的定义：

$\displaystyle \lim _{x\to x_0}f(x)=0$,$\displaystyle \lim _{x\to x_0}g(x)=0,\displaystyle \lim _{x\to x_0}\frac{g(x)}{f(x)}=1$。则称f(x)与g(x)为等价无穷小。

本题所涉及的等价无穷小：

$sinx \sim x$

$tanx \sim x$

本题涉及的泰勒展开式：

$\displaystyle sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...$

$\displaystyle tanx=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+...$

等价无穷小在本质上来说，是函数在某点进行1阶泰勒展开。

以$\displaystyle \lim _{x \to 0}\frac{tanx}{sinx}$为例，

$\displaystyle \lim _{x \to 0}\frac{tanx}{sinx}=\lim _{x \to 0}\frac{x+o(x)}{x+o(x)}=\frac{1+\frac{o(x)}{x}}{1+\frac{o(x)}{x}}=1$。

乘除法中，o(x)不会对式子的结果产生影响，所以只需要进行一阶泰勒展开，等价无穷小适用。

加减法我们首先要看题需要泰勒展开到哪一项：

以本题A选项为例，需要泰勒展开到$x^3$次方项，而等价无穷小只是进行了一阶的泰勒展开，所以这里不能用等价无穷小替换。

如果用等价无穷小的话会出现下面的问题：

$\displaystyle \lim _{x \to 0}\frac{tanx-sinx}{x^3}＝\lim _{x \to 0}\frac{(x+o(x))-(x+o(x)}{x^3})＝\lim _{x\to 0}\frac{o(x)-o(x)}{x^3}$

因为o(x)并不是$x^3$的高阶无穷小，所以$o(x)/x^3$会对原来的式子造成影响。

我们展开到余项为$o(x^3)$的项

$\displaystyle \lim _{x \to 0}\frac{tanx-sinx}{x^3}＝\lim _{x \to 0}\frac{(x+\frac{x^3}{3}+o(x^3))-(x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3))}{x^3}＝\frac{1}{2}$

B选项只需要展开到x项，只需要进行1阶泰勒展开，所以可以用等价无穷小。

$\displaystyle \lim _{x \to 0}\frac{tanx-sinx}{x}＝\lim _{x \to 0}\frac{(x+o(x))-(x+o(x))}{x}＝0$。

B选项为正确选项。

等价无穷小可以看作是函数泰勒展开到第一项。

对于乘除法中的等价无穷小使用，适用，因为乘除法只需要看泰勒展开的第一项。

对于加减法中的等价无穷小使用，如果只需要一阶泰勒展开，加减法适用；需要进行更高阶的泰勒展开则不适用。

判断能不能用等价无穷小，要用到泰勒展开，如果对等价无穷小的使用熟悉，自然解题快速，正确率高。如果不熟悉等价无穷小，那么泰勒展开解题是最好的选择。