不连续函数的极限
如下一个函数：$$f(x) =\begin{cases}
x, & \text{if } x = \frac{1}{n} \text{ , }n\in\mathbb{N} \\
0, & \text{otherwise .}\\
\end{cases}$$
也就是说，比如：
-
$x=\frac{1}{2}$时，$f(x)=\frac{1}{2}$
-
$x=\frac{2}{3}$时，$f(x)=0$
这个函数的图像看起来大概就是这样的（示意图，这个函数没有办法画出精确的图像）：
基本上图像都是$y=0$这根直线，只是个别的地方是不连续的。
那么$\displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{3}}f(x)$是多少？
0
$\frac{1}{3}$
$1$
不存在
答案：$\displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{3}}f(x)=0$
虽然$f(x)$看起来复杂，但是这个问题实际上相当于求下面这个函数的$\displaystyle\lim_{x\to\frac{1}{3}}g(x)=?$：
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