做一条直线$y=m$与曲线交于三点，横坐标分别为$a,b,c$

我们可以列出式子：

$$x(x-1)^2-m=0$$

$$=x^3-2x^2+x-m=0$$

利用韦达定理可得：

$\begin{equation} \left.\begin{aligned} a+b+c=2\\ ab+bc+ac=1 \end{aligned}\right\} \implies \end{equation}$ $\begin{equation} \begin{aligned} ab=c^2-2c+1\\ a+b=2-c \end{aligned} \end{equation}$

所以有

$$|b-a|=\sqrt{(b+a)^2-4ba}=\sqrt{4c-3c^2}$$

S=底边乘以高=$\sqrt{4c-3c^2}\times c\times (c-1)^2$

求导可得，当$c=\frac{5+\sqrt{7}}{6}$时取得最大值

$S_{max}=\frac{7\sqrt{21}-10\sqrt{3}}{324}$

马思遥同学给出了一个想法，也很不错。

我们对曲线进行积分$\int _0^1 x(x-1)^2$

用牛顿莱布尼茨公式，可以得到$\int _0^1 x(x-1)^2dx=\frac{1}{12}$

积分所得的值应该大于矩形面积，所以本题应该选A