2017年8月17日网友问答--极限问题
设$\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_ n=a$,且$a\neq 0$,则当$n$充分大时有
$|a_ n| > \frac{|a|}{2}$
$|a_ n| < \frac{|a|}{2}$
$a_ n > a - \frac{1}{n}$
$a_ n < a + \frac{1}{n}$
正确答案为$A$。
1 答案解析
先看$A,B$选项
Created with GeoGebra
$A$正确
$D$选项与$C$选项类似
2 证明
摘自网友 冷咖啡 的回答
2.1 $A,B$选项
由题意可知:
$$\forall \epsilon > 0 \quad \exists N > 0$$
.
当$n > N$时. 总有$|a_ n-a|<\epsilon $.
取$\epsilon = \frac{a}{2}\quad |a_ n-a|<\frac{a}{2}$,故:
$$|a_ n|>\frac{a}{2}$$
故$A$正确,$B$错误
2.2 $C$选项
取 $a > 0\quad a_ n=a-\frac{1}{n-1}$.
满足$\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_ n=a$.
当$n\to \infty $时:
$$a_ n=a-\frac{1}{n-1} < a - \frac{1}{n}$$
与$C$答案不符,故$C$错
2.3 $D$选项
取 $a > 0\quad a_ n=a+\frac{1}{n-1}$.
满足$\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_ n=a$.
当$n\to \infty $时:
$$a_ n=a+\frac{1}{n-1} > a + \frac{1}{n}$$
与$D$答案不符,故$D$错
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