这里给出反例

1

$$\begin{eqnarray} f(x)= \begin{cases} x^3sin\frac{1}{x} & x\neq 0 \\ 0 & x=0 \end{cases}\end{eqnarray}$$

当$x\to 0$时,因为

$$\displaystyle \lim _{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}=0$$

所以$f(x)$满足$f(x)=o(x^2)$

2

$$\begin{eqnarray} f'(x)= \begin{cases} 3x^2sin\frac{1}{x}-xcos\frac{1}{x} & x\neq 0 \\ 0 & x=0 \end{cases}\end{eqnarray}$$

虽然

$$\displaystyle \lim _{x\to 0}f'(x)=0$$

但是

$$\displaystyle \lim _{x\to 0}\frac{f'(x)}{x}\neq 0$$

所以,$f'(x)=o(x)$不成立

3

各个函数的图像