8月21日无穷级数问题
求下列式子的和：
$$\displaystyle 1+\frac{1+2}{2!}+\frac{1+2+2^2}{3!}+\frac{1+2+2^2+2^3}{4!}+...$$
$e^{e^2}$
$e^2-e$
$e^2-1$
$e^2$
几个常见的级数公式
$$\displaystyle e^ x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^ n}{n!},x\in R$$
$$\displaystyle \frac{1}{1+x}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^ nx^ n,x\in (-1,1)$$
$$\displaystyle \frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\infty }x^ n,x\in (-1,1)$$
$$\displaystyle sinx=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^ n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},x\in R$$
$$\displaystyle cosx=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^ n\frac{x^{2n}}{(2n)!},x\in R$$
$$\displaystyle ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\frac{x^ n}{n},x\in (-1,1]$$
解：
$$1+2+2^2+....2^ n$$
$$=2^ n-1$$
所以原式等于
$$\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } \frac{2^ n-1}{n!}$$
$$=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } \frac{2^ n}{n!}-\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{n!}$$
$$=e^2-e$$
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