柯西中值定理的几何意义是什么?

先给出定义是一种礼貌:

如果函数$f(x)$及$g(x)$满足在闭区$[a,b]$上连续;在开区间$(a,b)$内可导,对任意$x\in (a,b),g'(x)\neq 0$,那么在$(a,b)$内至少有一点$\xi (a < \xi < b)$使等式$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi )}{g'(\xi )}$成立

维基百科


1 几何模型

这种几何模型并不难建立,和之前我回答过的 如何解释洛必达法则 ,里面用的技巧一样,就是通过参数方程进行构造(毕竟洛必达法则就是柯西中值定理证明的,两者怎么会不像啊),即变成$u(x)=(g(x),f(x))$:

图画出来之后问题就变得简单了,柯西中值定理就退化为了拉格朗日中值定理,即:


2 需要单独讲的一点

柯西中值定理中有一个条件,就是$g'(x)\neq 0$为什么要存在?

因为我们刚才通过拉格朗日中值定理推出来了柯西中值定理,如果$g'(x)=0$,比如$f(x)=x-x^2,g(x)=x^3$(其中$g'(x)$在x=0处存在0点),$u(x)$图像中会出现导数不存在的点:

而拉格朗日中值定理要求整个开区间可导,所以必须有这个条件。


3 还有一个困惑

为什么条件是$[a,b]$连续,$(a,b)$可导?这个也值得写篇文章来说说,挖个坑,请听下回分解。

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