8月22日如何理解参数方程？
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数： $$ \begin{cases} x=f(t)\\ y=g(t) \end{cases} $$ ，并且对于t的每一个允许的取值，由方程组确定的点(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数x、y的变数t叫做参变数，简称参数。相对而言，直接给出点坐标间关系的方程叫普通方程。
维基百科
大家可以通过下面的互动来感受下参数方程：
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1 一元函数的参数方程
在一元的时候，参数方程是对同一个函数（方程）的不同理解方式，比如：
我们也可以换一种理解圆的方式：
这两种方式都是对的，实际运用中就看哪种方便。比如物理学中往往告诉你横向加速度是多少、纵向减速度是多少，这时候用参数方程就比较方便。
除了这种对称的应用，还有就是通过参数对变量的控制，从而使自变量间产生关系。不再独立。
2 二元函数的参数方程
我们看看一元的参数方程：
变换到二元去会怎么样：
到了二元就变成了一个平面，这里应该比较显然了，在整个平面上运动都满足参数方程，相当于：
$$\begin{cases} z\in \mathbb {R}\\ x=t\\ y=t\end{cases}$$
2.1 应用
二元函数参数方程常见的是下面这样的应用，我第一次看到的时候有点懵。
比如这样一个二元函数，$z=x^2+y^2$：
也就是一个普通的三维抛物线。注意此时的$x,y$都可以自由改变：
但是如果增加参数方程：
$$\begin{cases} z=x^2+y^2\\ x=t\\ y=t\end{cases}$$
这有什么意义？此时的$x,y$的变化就受到$\begin{cases} x=t\\ y=t\end{cases}$的约束：
所以，它的几何意义就是，$z=x^2+y^2$与$\begin{cases} x=t\\ y=t\end{cases}$两个曲面的交线：
是的，变成了一根空间曲线。其实也好理解，假如把$x=t,y=t$代入到$z=x^2+y^2$，得到$z=2t^2$（下面坐标切换到$zt$平面了）：
像不像被“万佛朝宗”一巴掌拍平了啊。
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