8月22日--参数方程习题(2)
图像满足参数方程:$x^4+y^3=x^2y$
由红色曲线所包围的面积可以由$\displaystyle \frac{a}{b}$所表示,其中$a,b$互质的正整数，则$a+b=?$
$105$
$8$
$113$
$97$
令$y=tx$.带入参数方程，得到:
$$x^4+x^3t^3=x^2(xt)$$
其中$x=t-t^3,y=t^2-t^4,t\in R$
在一象限中,$x>0,y>0$.
则得到:$0 < t < 1$.
整个面积等于2倍一象限的面积。
利用格林公式:
$$A=2\times (\frac{1}{2}\oint _{c}xdy-ydx)$$
$$A=\displaystyle \int _{0}^{1}(t-t^3)(2t-4t^3)-(t^2-t^4)(1-3t^2)dt=\frac{8}{105}$$
因此答案为113.
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