数列极限与有界
设数列$\{ x_ n\} \{ y_ n\} $满足$\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_ ny_ n=0$,则下列说法正确的是：
若$\{ x_ n\} $无界，则$\{ y_ n\} $必有界
若$\{ x_ n\} $为无穷小，则$\{ y_ n\} $必有界
若$\{ x_ n\} $有界，则$\{ y_ n\} $必为无穷小
若$\{ \frac{1}{x_ n}\} $为无穷小，则$\{ y_ n\} $必为无穷小
1 知识回顾
1.1 数列极限与有界的关系
单调有界数列必有极限。收敛的数列必有界。
高等数学同济版
我们可以推出：
有极限一定有界比较好理解，收敛的数列必有界嘛：
数列有界不一定有极限是怎么一回事呢？和准则相比，少了单调两字：
1.2 数列无界与极限为无穷大
极限为无穷大，数列一定无界，但是数列无界，极限不一定为无穷大。
看一下这个数列：0,1,0,2,0,3,0,4......数列是无界的，但是它没有无穷大。
1.3 数列极限与有界的关系图
1.4 无穷大与无穷小大倒数
无穷大的倒数为无穷小
无穷小的倒数不一定为无穷大。因为0也是无穷小，0没有倒数。
2 选项解析
本题正确答案为D。
2.1 A选项：$\{ x_ n\} $无界，则$\{ y_ n\} $必有界。
我们来举一个反例:
$\{ x_ n\} $：0,1,0,2,0,3,0,4....
$\{ y_ n\} $：1,0,2,0,3,0,4,0....
可以得到$\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_ ny_ n=0$而$\{ x_ n\} $，$\{ y_ n\} $都无界。
A选项错误。
2.2 B选项：若$\{ x_ n\} $为无穷小，则$\{ y_ n\} $必有界。
只需要$\{ y_ n\} $不能影响$\{ x_ n\} $的无穷小就行了。
$\{ x_ n\} $通项为：$\frac{1}{x^2}$
$\{ y_ n\} $通项为：$x$
B选项错误。
2.3 C选项：若$\{ x_ n\} $有界，则$\{ y_ n\} $必为无穷小。
如果$\{ x_ n\} $是无穷小，那么只需要$\{ y_ n\} $有界就可以了。
C选项错误。
2.4 D选项：若$\{ \frac{1}{x_ n}\} $为无穷小，则$\{ y_ n\} $必为无穷小
$\{ \frac{1}{x_ n}\} $为无穷小，$\{ x_ n\} $为无穷大，所以$\{ y_ n\} $必为无穷小（否则结果一定是无穷大）。
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