从数学上讲,卷积就是一种运算。
某种运算,能被定义出来,至少有以下特征:
比如加法:
卷积,是我们学习高等数学之后,新接触的一种运算,因为涉及到积分、级数,所以看起来觉得很复杂。
我们称
其连续的定义为:
其离散的定义为:
这两个式子有一个共同的特征:
这个特征有什么意义?
我们令
如果遍历这些直线,就好比,把毛巾沿着角卷起来:
或许,这就是“卷”积名字的来源吧。
只看数学符号,卷积是抽象的,不好理解的,但是,我们可以通过现实中的意义,来习惯卷积这种运算,正如我们小学的时候,学习加减乘除需要各种苹果、糖果来帮助我们习惯一样。
我们来看看现实中,这样的定义有什么意义。
我有两枚骰子:
把这两枚骰子都抛出去:
求:
这里问题的关键是,两个骰子加起来要等于4,这正是卷积的应用场景。
我们把骰子各个点数出现的概率表示出来:
那么,两枚骰子点数加起来为4的情况有:
因此,两枚骰子点数加起来为4的概率为:
符合卷积的定义,把它写成标准的形式就是:
楼下早点铺子生意太好了,供不应求,就买了一台机器,不断的生产馒头。
假设馒头的生产速度是
馒头生产出来之后,就会慢慢腐败,假设腐败函数为
想想就知道,第一个小时生产出来的馒头,一天后会经历24小时的腐败,第二个小时生产出来的馒头,一天后会经历23小时的腐败。
如此,我们可以知道,一天后,馒头总共腐败了:
这就是连续的卷积。
有这么一副图像,可以看到,图像上有很多噪点:
高频信号,就好像平地耸立的山峰:
看起来很显眼。
平滑这座山峰的办法之一就是,把山峰刨掉一些土,填到山峰周围去。用数学的话来说,就是把山峰周围的高度平均一下。
平滑后得到:
卷积可以帮助实现这个平滑算法。
有噪点的原图,可以把它转为一个矩阵: