柯西中值定理与拉格朗日中值定理的关系

之前我写过一个回答, 拉格朗日定理与罗尔定理,柯西定理啥关系 ,其中阐述了下柯西中值定理的物理模型。

仔细想想,物理模型还是蛮反直觉的,就是说两个人跑步的平均速度之比会等于某一时刻两人的瞬间速度之比,仿佛两个独立事件有了因果关系。

后来进一步又思考了一个物理模型,终于可以重建这个直觉了(其实学习本身就是重建直觉的过程)。


1 从物理上,重建直觉

拉格朗日中值定理,是说一个人跑步的时候,$ab$两点的平均速度等于中间某点的瞬时速度:

我们来想象下,我们在画这个图的时候,把时间轴上的数字抄写错了,每个时间都变成了之前的两倍:

仅仅写错了时间,拉格朗日中值定理依然成立,但是因为写错了时间,拉格朗日中值定理却变成了柯西中值定理。

所以,柯西中值定理不过就是写错了时间的拉格朗日中值定理,直觉终于重新建立起来。

只是写错时间到底发生了什么变化?


2 回到数学上进行解释

所以柯西中值定理其实就是拉格朗日中值定理的参数方程形式

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