8月24日矩阵练习题

马同学

8月24日矩阵练习题

设$n$阶矩阵($n>3$) $A= \begin{bmatrix} \displaystyle 1 & a & a & . & a \\ a & 1 & a & . & a \\ a & a & 1 & . & a \\ . & . & . & . & . \\ a & a & a & . & 1 \end{bmatrix}$,若矩阵$A$的秩为$n-1$,则$a$必为

$\displaystyle \frac{1}{1-n}$

-1

$\displaystyle \frac{1}{n-1}$

$|A|=\begin{vmatrix} 1 & a & a & . & a \\ a & 1 & a & . & a \\ a & a & 1 & . & a \\ . & . & . & . & . \\ a & a & a & . & 1 \end{vmatrix}$

将2，3，4...n列加到第一列。

$|A|=\begin{vmatrix} (n-1)a+1 & a & a & . & a \\ (n-1)a+1 & 1 & a & . & a \\ (n-1)a+1 & a & 1 & . & a \\ . & . & . & . & . \\ (n-1)a+1 & a & a & . & 1 \end{vmatrix}$

$|A|=[(n-1)a+1]\begin{vmatrix} 1 & a & a & . & a \\ 1 & 1 & a & . & a \\ 1 & a & 1 & . & a \\ . & . & . & . & . \\ 1 & a & a & . & 1 \end{vmatrix}$

用2,3,4...n行分别减去第一行。

$|A|=[(n-1)a+1]\begin{vmatrix} 1 & a & a & . & a \\ 0 & 1-a & 0 & . & 0 \\ 0 & 0 & 1-a & . & 0 \\ . & . & . & . & . \\ 0 & 0 & 0 & . & 1-a \end{vmatrix}$

因为不满秩，所以$|A|=0$,所以有$[(n-1)a+1]\cdot (1-a)^{n-1}=0$

$a=1$ 或者 $a=\frac{1}{1-n}$

验证$a=1$不满足要求。所以有$a=\frac{1}{1-n}$

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