8月28日真题练习2
在区间$(-\infty ,+\infty )$，方程$\displaystyle |x|^{\frac{1}{4}}+|x|^{\frac{1}{2}}-cosx =0 $下列说法正确的是：
方程无实根
方程有且仅有一个实根
方程有且仅有两个实根
方程有且仅有四个实根
令$\displaystyle f(x)=|x|^{\frac{1}{4}}+|x|^{\frac{1}{2}}-cosx$
有$f(x)=f(-x)$函数为偶函数。
当$x>0$时
$\displaystyle f(x)=x^{\frac{1}{4}}+x^{\frac{1}{2}}-cosx$
当x在区间$(0,1)$时，$x^{1/4}$是增函数，$x^{1/2}$是增函数，$-cosx$是增函数。
所以$f(x)$是增函数,$f(0)=-1$.$f(1)=2-cosx > 0$
根据零点定理，在区间$(0,1)$上有且仅有一点和x轴相交。
当$x>1$时,$f(x)>0$
所以$f(x)$与正半轴交于一点，因为是偶函数。所以相应的与负半轴也交于一点。
所以方程$|x|^{\frac{1}{4}}+|x|^{\frac{1}{2}}-cosx =0 $有且仅有两个实根
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