向量基
1 知识点
基
设$V$为向量空间，如果$r$个向量$\vec{a_1},\vec{a_2},...\vec{a_ r}\in V$,且满足
-
$\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_ r}$线性无关
-
$V$中任一向量都可由$\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_ r}$线性表示那么行向量组$\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_ r}$被称为向量空间$V$的一个基,$r$称为向量空间$V$的维数，秉承$V$为$r$维向量空间.
2 几何观点
基是向量空间里很重要的概念.
基产生变化，向量空间就会随之变化
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而基向量选定，对应的零向量也已选定.因此我们可以讲，向量空间由基张成.
3 习题
对于向量空间$\mathbb {R^2}$下列说法不正确的是
向量$\vec{i}=\begin{pmatrix} 1
\\ 0
\end{pmatrix},\vec{j}=\begin{pmatrix} 0
\\ 1
\end{pmatrix}$是一个基
是2维的向量空间
向量$\vec{i}=\begin{pmatrix} -1
\\ 0
\end{pmatrix},\vec{j}=\begin{pmatrix} 0
\\ -1
\end{pmatrix}$是一个基
向量$\vec{i}=\begin{pmatrix} -1
\\ 1
\end{pmatrix},\vec{i}=\begin{pmatrix} 1
\\ -1
\end{pmatrix}$是一个基
任何$n$个线性无关的$n$维向量都可以是向量空间$\mathbb {R^ n}$的一个基.
且由此可知$\mathbb {R^ n}$的维数为$n$,所以我们把$\mathbb {R^ n}$称为$n$维向量空间.
在$D$选项中，$\vec{i}=-\vec{j}$,线性相关.因此，不正确
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