向量空间(1)--直观
1 线性相关与线性无关
1.1 线性无关
前面我们提到$\begin{bmatrix} 2
\\ 3
\end{bmatrix}=2\vec{i}+3{j}$的图形是这样的。
把2用一般化的符号$a$表示，3用一般化的符号$b$表示.
这样一个二维平面内的向量就可以表示为$a\vec{i}+b\vec{j}$
同样的，平面中的其它点也可以用$a\vec{i}$和$b\vec{j}$来表示.
$a\vec{i},b\vec{j}$只是将$\vec{i},\vec{j}$进行了伸缩。
因此让我们将$\vec{i},\vec{j}$的单位刻度延长,形成网格.
同时忘掉坐标系.
此时这个空间是依托于$\vec{i},\vec{j}$存在的.
我们将$\vec{i},\vec{j}$称为此空间的基
换句话说，这个二维空间的基是$\vec{i},\vec{j}$.
不过$\vec{i},\vec{j}$是我定的。
当然我也可以把$\vec{i},\vec{j}$定义成这样
不过平面内的每个点依然可以用新的$\vec{i},\vec{j}$来表示
Created with GeoGebra
以新的$\vec{i},\vec{j}$为基的空间长成这样。
Created with GeoGebra
仍然是一个二维平面。
这两个空间的基由一个特点，就是都不在一条直线上.
这种不在一条直线上的两个向量称为线性无关的向量.
以两个线性无关的向量为基，它们通过线性组合(数乘和加法)，所形成的空间都是二维的.
或者我们可以说，两个线性无关的向量张成二维空间.
直观点讲就是，两条不重合的线决定一个面.
1.2 线性相关
不过两个向量的线性组合并不总能张成二维空间。
比如:
此时的$a\vec{i}$和$b\vec{j}$只能张成一条直线.
Created with GeoGebra
可以看到此时的基$\vec{i}$与$\vec{j}$在一条直线上。
这时我们称$\vec{i}$与$\vec{j}$线性相关。
以线性相关的两个向量为基，只可能张成一维或零维的空间.
什么时候张成零维空间呢?
当基向量$\vec{i}$与$\vec{j}$是零向量的时候.
2 习题
有一向量空间,$\vec{i}=\begin{bmatrix} 1
\\ -1
\end{bmatrix},\vec{j}=\begin{bmatrix} 2
\\ 1
\end{bmatrix}$
关注马同学
微信公众号：matongxue314
