向量
1 物理中的向量
向量，这是一个古老的物理概念。亚里士多德就知道力可以分解为向量，伽利略更是清晰的阐述了向量如何合成。
在物理中，向量是可以代表力、速度或加速度的有向线段，是一个具有方向和大小的几何对象：
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将有向线段的起点与终点分别表示为字母$A,B$。则向量表示为$\vec{AB}$：
为了书写方便，向量也可以用一个字母来代替，比如$\vec{AB}$也可以用$\vec{u}$来表示。
既然向量是具有方向和大小的几何对象。那么只要大小相等，方向相同，向量自然也就相等：
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2 数学中的向量
物理是物理，一向讲究差不多就行，甚至认为“近似”是物理的精华。
但是数学不能这么干，说向量就是一个具有方向和大小的几何对象，这事情数学干不出来。
“严格性虽然不是数学的一切，但是没有了严格性数学就没有了一切”。
我们来看看数学是怎么定义和认知向量的。
2.1 复数与向量的关系
在历史上，把向量尝试数学化的过程中，首先想到的是复数。
在当时，复数已经是一个严格的数学概念了。而复平面上的每个点，比如$P=x+yi$，都可以视为向量，即下图中的$\vec{OP}$向量，其中$O$为平面坐标的原点：
更关键的是，复数的部分运算法则也和向量运算法则吻合（运算法则之后会讲），看起来确实可以把向量给复数化。
数学家发现复数与向量之间关系的时候，眼睛一亮，雄心勃勃，想一下解决两个问题：
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兼容实数，扩展数系
-
描述二维、三维甚至更高维空间
奈何“不如意事，十有八九”，数学家最后自己证明了这两个目标不可能同时达到（数学家打自己脸，从来不客气）。
复数和向量，最后分道扬镳：
2.2 向量的严格表示
从向量的物理概念出发，是一个具有方向和大小的几何对象。
比如，这么一个向量$\vec{u_{}}=\vec{OP}$，我们把它的起点放在原点$O$点，终点放在$P$点，就可以画出这个向量：
在数学中，我们始终遵循向量的起点在原点$O$，那么我们就可以用终点的坐标来表示向量，即上面的向量可以表示为：
$$\vec{u_{}}=(x,y)$$
这样，向量和空间中的点就建立了一一映射的关系：
往更高维度走也是一样的，比如三维空间中的一个点就对应了一个三维向量：
而超过三维，就无几何意义了。
比如，我想描述一个游戏人物的信息（好不容易找了一个数值居然这么简单的游戏）：
这个时候，我们就需要向量的形式化定义了，如下:
$n$个有序的数$a_1,a_2,...,a_ n$所组成的数组称为$n$维向量，这$n$个数称为该向量的$n$个分量,第$i$个数$a_ i$称为第$i$个分量.$n$维向量可写成一行，也可写成一列.分别称为行向量和列向量.
-
$n$维列向量$$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ ... \\ a_ n \end{pmatrix}$$
-
与$n$维行向量$$(a_1,a_2...a_ n)$$
那么之前的人物信息就可以表示为，你可以认为之前游戏图片中的人物属性就是使用的列向量：
$$\begin{pmatrix} 97391
\\ 1000
\\ 2166
\\ 1432
\\ 316
\\ 723
\\ 0
\\ 0
\\ 0
\end{pmatrix}$$
或者：
$$(97391, 1000, 2166, 1432, 316, 723, 0, 0, 0)$$
上面两种写法都代表同一个向量，这两种写法到后面矩阵出现了才有区别。
2.3 长度
向量是有向线段，它的大小就是线段的长度。
对于向量$\vec{u}=\vec{OP}$的长度被记做$||\vec{u}||$或者$||\vec{OP}||$：
在二维中，对于向量$\vec{u}=\begin{pmatrix} x
\\ y
\end{pmatrix}$而言，这个长度可以根据毕达哥拉斯定理计算，等于$\sqrt{x^2+y^2}$：
推广到三维就是：
更一般的，对于：
$$\vec{w}=\begin{pmatrix} a_1
\\ a_2
\\ ...
\\ a_ n
\end{pmatrix}$$
的长度为：
$$||\vec{w}||=\sqrt{a_1^2+a_2^2+...a_ n^2}$$
注意，向量长度是一个数，不是一个向量或一个点。
对于向量$\vec{AB}$来讲，如果交换起点和终点的顺序，就会得到另一个向量$\vec{BA}$.它们的长度相同，方向相反。即:
$$||\vec{AB}||=||\vec{BA}||$$
2.3.1 零向量
$\vec{AA}$也是一个向量，它被称为零向量：
起点与终点为同一个点的向量为零向量,被记做$\vec{0}$。零向量的长度为零。
2.4 平行的同向
向量不仅有长度还有方向，不过我们这里暂时没有办法给出方向的数学定义，这得等后面介绍了点积才能严格定义。
我们可以感受一下，平行的向量。
两个具有相同或相反方向的向量平行：
零向量与任意向量平行。
3 结语
本文介绍了数学中向量的基本信息：
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向量与复数的关系
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向量是有序对
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向量大小的标记方法、计算方法
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平行的向量
下一节我们将介绍向量的两项基本操作--数乘和加法。
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