如何理解概率论中的“矩”?

给我一个支点和一根足够长的棍子,我就可以举起整个地球。

----阿基米德

对比物理的力矩,你会发现,概率论中的“矩”真的是很有启发性的一个词。
1 力矩
大家应该都知道物理中的力矩,我这里也不展开说细节了,用一幅图来帮助大家回忆一下:
上图中,两边能保持平衡,只要满足下面的式子就可以了(很粗糙的式子,没把力作为向量来考虑):
其中,都称为力矩。
可以看出上图的大,小,但由于杆子长度不同,仍然可以取得平衡。
利用上图的原理,我们就可以制作出秤:
2 概率论中的“矩”
在概率论中,有一杆无处不在的“秤”。因为这把“秤”的存在,所以我们有了“矩”。
2.1 彩票的问题
福利彩票,每一注两元钱,真是中国的良心啊,猪肉、房价都涨了多少了!?
每一注的中奖几率如下(胡诌的):
画成概率分布大概就是这样的:
不过,我想你大致不会认为,这花两元钱买的彩票,真的就价值五百万。
我们用概率来组装一把“秤”:
“秤”摆好了,我们尝试称一下:
称量实际上是:
这么少?不是说好了五百万的吗?
没有办法,中奖概率太低了,离秤的中心太近了(对应于力矩而言,就是力臂太短了)。中国有句古话:“二鸟在林不如一鸟在手”,说的真的有道理啊。
把整张彩票都放上去称(秤上的刻度是随便画的,因为相差太悬殊,没有办法按照真是比例来画):
具体计算如下:
这张彩票原来只值1.5元?血本无归啊!
3 “矩”
学过概率的都知道,我们上面计算的就是期望:
其实这就是“矩”:
因为是一次幂,所以也称为“一阶矩”。
再比如方差:
其中的距离也需要称量之后才能使用,所以方差也称为“二阶矩”。
“三阶矩”、“四阶矩”、“高阶矩”,各有用途,但是共同的特点就是称量之后才能使用。
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