实数0的下一个实数是什么？这个问题的答案很明确，没有。我们可以用反证法来证明：

假设0的下一个实数是$0'$，那么有$0 < \frac{0+0'}{2} < 0'$，与假设矛盾，所以不存在$0'$。

这其实是连续统的性质：

• 稠密：在任意两个元素之间存在第三个元素
• 无洞：有上界的非空子集一定有上确界

因为实数是连续统，所以符合稠密性，所以没有下一个数。模糊的说来就是，“实数可以连续的变动”。

但是，我相信，这是相当反直觉的，估计很多人初次接触的时候都很难接受实数没有下一个数这样的一个事实，并且难以想象实数是怎么连续变动的。我尝试分享下我是怎么建立直觉。

要理解这个问题需要基于对无穷的理解，要把无穷讲清楚我个人觉得在一篇小文里面做到还是很困难的，我也不想讲太细了，要不然偏题太多了。毕竟无穷是一次人类思维的大飞跃。如果有什么问题可以提出来进行讨论。

1 无穷的一些性质

先列一下：

• 无穷和有限非常不一样，很多性质都无法直接照搬
• 无穷的部分可以和整体一样多
• 同样是无穷，实数的个数就比自然数的个数多

1.1 希尔伯特旅馆悖论

这是很著名的 一个悖论 ，我这里简单的复述一下：

让我们先从这里开始，上面用数学符号来表示，不严格的可以表示为：$\infty =\infty +1$（为什么说不严格呢？因为无穷没有加减法）。我们可以看到，无穷和有限非常不一样。

上面可以这么理解，偶数虽然是自然数的一部分，但是偶数（房间）也足够容纳所有的自然数了（用集合论的话来说，就是偶数和自然数等势）。可以看到，在无穷里面，部分和整体可以一样多。

我们还可以用数学符号来表示，$f:$偶数$\to \mathbb {N}$，也就是说这是一个偶数到自然数的一一映射。

1.2 实数的无穷比自然数的无穷多

简单点说，你找不到一个函数，定义域在$\mathbb {N}$上，值域在$\mathbb {R}$上，即$f:\mathbb {N}\to \mathbb {R}$不存在。

直观点的话，你可以这么考虑：

上面证明了，实数比自然数多，哪怕你觉得难以想象，我觉得应该也可以认识到自然数和实数有本质的不同（其实有理数数目和自然数一样多，我们称为可数，但是也没有后继数，因为有理数也是稠密的）。

注意到这点不同，我们就没有理由要求实数和自然数的性质完全一样，比如说自然数有后继数，实数却不一定需要有。

前面说了那么多，是因为无穷的直觉需要一点点建立。我希望通过前面的讲解可以对我最开头说的无穷的性质有一点认识，如果需要更多了解，可以看下科普书籍，《从一到无穷大》。

2 全体实数与$(0,1)$开区间

我们注意到，$(0,1)$这个开区间和全体实数一样多，要说明这件事情很简单，我只需要找到一个函数，其定义域为$(0,1)$，值域为$\mathbb {R}$就可以了，即找到$f:(0,1)\to \mathbb {R}$。

这个函数很容易找到，$f(x)=tan((x-\frac{1}{2})\pi )$：

为什么要画出这个曲线呢？是因为我想借用无穷大的直觉（假如有的话），对于这个函数，无穷大是无法到达的，只能无限的靠近：

如果能够理解函数值在$(0,1)$开区间两端无限靠近无穷大的话，那么：

换句话说，如果0的下一个数$0'$存在，那么$f(0')=-\infty $，但是$-\infty $并非是在该函数的值域($\mathbb {R}$也可以写成$(-\infty ,\infty )$，这也是开区间，不包含端点)。

我就是这么建立直觉的，0没有下一个数，就和没有无穷大是一个道理。

3 接受之后的思考

接受0没有后继数，以及相应的直觉后（进一步说，就是接受连续统），开始回头思考，重建数学观。

之前把实数点看作是一个点，线段是一个个点挨在一起，那么我们就会面临一个问题，几个点放在一起才会形成线段？两个点肯定不行，三个点呢？并且我们知道实数点是没有长度的，那么为什么无数多个0加在一起可以有长度？这些问题都需要在连续统中得到解释。

我们对数学的认识是从自然界中的实在开始的，自然界的实在界限分明，一个苹果可以紧挨另外一个苹果，所以我们发明了自然数，我们也很自然的认为每一个数都应该有一个后继。

就算目前物理学深入了很多，但是物质依然是量子化的，物质的尺度的下限就是普朗克长度，时间的下限是普朗克时间。哪怕是连续的时间也是被切割成一个个时间片的，比如电脑CPU的时钟频率。

而且，现实世界中，所有的都是有限的，连续是一个无限的概念，所以我们很难真正的认知什么是连续，什么是连续统。

所以，我们难以接受连续统，是因为我们受制于自身的感官观测能力。就像我们难以想象四维、五维空间一样。

况且数学也没有说一定要有现实中的对应物，数学不关心世界，只关心是否自洽。不过往往最后现实都和数学不期而遇。

4 连续统这个问题重要吗？

肯定是相当重要的问题，涉及到数学的根基。

比如：

为什么我会怀疑它在$(a,b)$上的可导性呢？因为如果$a$有后继数$a'$，那么根据导数的定义，$a'$只有右侧导数（左侧无定义）。哪怕忽略$a'$的问题，就认为单侧导数是OK的，但是$a'$的后继数$a''$呢？其左侧邻域只有一个点，这还能算邻域吗？

还有些问题，是学到拓扑、数分、测度遇到的一些纯数学问题，这里就不展开了。

数学的基础必须要牢靠，上面的问题才能获得解答，更重要的是，数学的严格性是数学的立命之本。