矩阵乘法--列与列相乘(习题课)
1 代数解释
1.1 矩阵与向量
矩阵的列与列相乘，看做是每一列的线性组合.
因此矩阵中的列，代表了向量的个数.而向量中的行代表了对向量的伸缩(数乘).
因此等式左边矩阵的列数需要与向量的行数一一对应.
如果列与行无法一一对应，则会出现无法定义的情况
而等式的右边表示线性组合后的结果.
矩阵与向量相乘表示是矩阵每一列的一个线性组合.因此组合后是一个列向量,列数为1.
组合后的维度，与之前矩阵每一列的维度一致.因此行数与矩阵的行数相同.
1.2 矩阵与矩阵
之前讲过，只有一列的矩阵是列向量.因此矩阵与列向量相乘，可以看做是矩阵与矩阵相乘的特殊形式.
将只有一列的矩阵扩充为含有两列的矩阵.得到的结果就是一个$2\times 2$的矩阵
1.3 交换律
对于矩阵
$$A=\begin{pmatrix} a_1
& b_1
\\ a_2
& b_2
\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} c_1
& d_1
\\ c_2
& d_2
\end{pmatrix}$$
$AB$代表的是$A$矩阵的列向量的线性组合,而$BA$表示$B$矩阵列向量的线性组合.
显然含义不同.因此是不满足交换律的.
比如:
$$A=\begin{pmatrix} 1
& 2
\\ 3
& 4
\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} 5
& 6
\\ 7
& 8
\end{pmatrix}$$
$$AB=\begin{pmatrix} 19
& 22
\\ 43
& 50
\end{pmatrix},BA=\begin{pmatrix} 23
& 34
\\ 31
& 46
\end{pmatrix}$$
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