连续函数题
设$f(x)$在闭区间$[0,1]$连续，$f(0)=0,f(1)=1$，证明：存在$\varepsilon \in [0,1]$，使得$f(\varepsilon -\displaystyle \frac{1}{n})=f(\varepsilon )-\displaystyle \frac{1}{n},n\in N^{+}$
这个题的难点在于证明的式子中有任意正整数n，我们可以先将n取一个具体的值，看一下题究竟在问什么。
1 $n=2$
证明$f(\varepsilon -\displaystyle \frac{1}{2})=f(\varepsilon )-\displaystyle \frac{1}{2}$
式子可以化为$\displaystyle \frac{1}{2}=f(\varepsilon )-f(\varepsilon -\displaystyle \frac{1}{2})$
则问题变成在$[0,1]$区间内，是否能找到，当自变量相差$\displaystyle \frac{1}{2}$,因变量也相差$\displaystyle \frac{1}{2}$的区间。
令
$$\Delta y=f(x)-f(\varepsilon -\displaystyle \frac{1}{2})$$
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从图中，我们可以看出，$\Delta y$是连续变化的。
我们可以取中点$x=\displaystyle \frac{1}{2}$，将函数分为两段。
$$\Delta y_1+\Delta y_2 = 1$$
有三种情况：
-
$\Delta y_1=\displaystyle \frac{1}{2}$，我们就找到了$\epsilon =\displaystyle \frac{1}{2}$
-
$\Delta y_1>\displaystyle \frac{1}{2}$，那么$\Delta y_2<\displaystyle \frac{1}{2}$，一定能在它们之间找到$\displaystyle \frac{1}{2}$的点。
-
$\Delta y_1<\displaystyle \frac{1}{2}$，那么$\Delta y_2>\displaystyle \frac{1}{2}$，一定能在它们之间找到$\displaystyle \frac{1}{2}$的点。
证明：
设$F(x)=f(x)-f(x-\displaystyle \frac{1}{2})-\displaystyle \frac{1}{2}$，即($\Delta y-\displaystyle \frac{1}{2}$)
那么有：(平均分为2段)
$$F(\displaystyle \frac{1}{2})=f(\displaystyle \frac{1}{2})-f(0)-\displaystyle \frac{1}{2}$$
$$F(1)=f(1)-f(\displaystyle \frac{1}{2})-\displaystyle \frac{1}{2}$$
我们有：
$$F(\displaystyle \frac{1}{2})+F(1)=0$$
分类讨论：
-
$F(\displaystyle \frac{1}{2})=0$,我们就找到了$\varepsilon =\displaystyle \frac{1}{2}$使得$F(\varepsilon )=0$
-
$F(\displaystyle \frac{1}{2})>0$,那么$F(1)<0$,两者异号，根据零点定理必存在$\varepsilon $使得$F(\varepsilon )=0$
-
$F(\displaystyle \frac{1}{2})<0$,那么$F(1)>0$,两者异号，根据零点定理必存在$\varepsilon $使得$F(\varepsilon )=0$
2 $n=3$
$n=3$时式子同样化为：$\displaystyle \frac{1}{3}=f(\varepsilon )-f(\varepsilon -\displaystyle \frac{1}{3})$
这时问题就变成在$[0,1]$区间内，是否能找到，当自变量相差$\displaystyle \frac{1}{3}$,因变量也相差$\displaystyle \frac{1}{3}$的区间。
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我们可以三等分区间：
同样有三种情况
-
$\Delta y_1=\displaystyle \frac{1}{3}$，我们就找到了$\epsilon =\displaystyle \frac{1}{3}$
-
$\Delta y_1>\displaystyle \frac{1}{3}$，那么$\Delta y_2<\displaystyle \frac{1}{3}$或者$\Delta y_3<\displaystyle \frac{1}{3}$，一定能在它们之间找到$\displaystyle \frac{1}{3}$的点。
-
$\Delta y_1<\displaystyle \frac{1}{3}$，那么$\Delta y_2>\displaystyle \frac{1}{3}$或者$\Delta y_3>\displaystyle \frac{1}{3}$，一定能在它们之间找到$\displaystyle \frac{1}{3}$的点。
证明：
设$F(x)=f(x)-f(x-\displaystyle \frac{1}{3})-\displaystyle \frac{1}{3}$，即($\Delta y-\displaystyle \frac{1}{3}$)
平均分为3段：
$$F(\displaystyle \frac{1}{3})=f(\displaystyle \frac{1}{3})-f(0)-\displaystyle \frac{1}{3}$$
$$F(\displaystyle \frac{2}{3})=f(\displaystyle \frac{2}{3})-f(\displaystyle \frac{1}{3})-\displaystyle \frac{1}{3}$$
$$F(1)=f(1)-f(\displaystyle \frac{2}{3})-\displaystyle \frac{1}{3}$$
我们有：
$$F(\displaystyle \frac{1}{3})+F(\displaystyle \frac{2}{3})+F(1)=0$$
分类讨论：
-
$F(\displaystyle \frac{1}{3})=0$,我们就找到了$\varepsilon =\displaystyle \frac{1}{3}$使得$F(\varepsilon )=0$
-
$F(\displaystyle \frac{1}{3})>0$,那么$F(1)$和$F(\displaystyle \frac{2}{3})$中必有一个小于0，它与$F(\displaystyle \frac{1}{3})$两者异号，根据零点定理必存在$\varepsilon $使得$F(\varepsilon )=0$
-
$F(\displaystyle \frac{1}{3})<0$,那么$F(1)$和$F(\displaystyle \frac{2}{3})$中必有一个大于0，它与$F(\displaystyle \frac{1}{3})$两者异号，根据零点定理必存在$\varepsilon $使得$F(\varepsilon )=0$
3 动手试试
设$f(x)$在闭区间$[0,1]$连续，$f(0)=0,f(1)=1$，证明：存在$\varepsilon \in [0,1]$，使得$f(\varepsilon -\displaystyle \frac{1}{n})=f(\varepsilon )-\displaystyle \frac{1}{n},n\in N^{+}$
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证明：设$F(x)=f(x)-f(x-\displaystyle \frac{1}{n})-\displaystyle \frac{1}{n}$
所有等式左边加左边，右边加右边。
$$F(\displaystyle \frac{1}{n})+F(\displaystyle \frac{2}{n})+...+F(1)=f(1)-f(0)-1=0$$
分类讨论
-
$F(\displaystyle \frac{1}{n})=0$,我们就找到了$\varepsilon =\displaystyle \frac{1}{n}$使得$F(\varepsilon )=0$
-
$F(\displaystyle \frac{1}{n})>0$,那么$F(\displaystyle \frac{a}{n})(a < n,a \in N)$中必有一个小于0，它与$F(\displaystyle \frac{1}{n})$两者异号，根据零点定理必存在$\varepsilon $使得$F(\varepsilon )=0$
-
$F(\displaystyle \frac{1}{n})<0$,那么$F(\displaystyle \frac{a}{n})( a < n,a \in N)$中必有一个大于0，它与$F(\displaystyle \frac{1}{n})$两者异号，根据零点定理必存在$\varepsilon $使得$F(\varepsilon )=0$
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