让我们从通俗解释开始。

今天《雷神3》上映了，我坐在第一排看电影：

而你坐在最后一排看电影：

我们看的是同一部电影，但是我们各自眼中看到的电影却因为位置不同而有所不同（比如清晰度啊、角度啊），所以说，“第一排看到的电影”和“最后一排看到的电影”是“相似”的。

那么相似矩阵走进的电影院，放映的是哪部电影？也就是说，什么是不变的呢？是线性变换。

刚才给的是相对矩阵的通俗解释，从数学角度上看，相似变换就是进行了坐标转换。

坐标转换是数学中的常用伎俩，目的是简化运算。比如常见的，把直角坐标系（坐标系）的圆方程换元为极坐标（坐标系）下：

图像也从左边变为了右边：

换元之后是不是代数式和图像都变简单了。相似变换也是这样的目的。

什么是线性变换？让我们从函数说起。

函数我们很早就接触了，直观地讲，就是把轴上的点映射到曲线上（下面是函数，把轴上的点映射到了正弦曲线上）：

还有的函数，比如，是把轴上的点映射到直线上，我们称为线性函数：

线性函数其实就是线性变换，为了看起来更像是线性变换，我换一种标记法。

比如之前的，我们可以认为是把点映射到点，我们称为线性变换，记作：

不过按照这个写法，作图就有点不一样了：

矩阵的形式很显然如下：

这样做最直接的好处是，我们可以轻易的摆脱轴的限制。

只要替换为平面内所有的点，我们就可以对整个平面做变换，该线性变换记作：

进而可以写作矩阵的形式：

为了示意整个平面的点都被变换了，我用下面的淡蓝色网格来表示这个线性变换（这个变换实际上镜面反转，为了方便观察增加一个参考点以及虚线表示的反转对称轴）：

我们记：

我们可以得到更简便的记法（这种形式看起来也更像线性方程）：

反正都是指代的平面上所有的点，我们干脆更简化点，认为：

而不过是这个的一种特殊情况。

慢着！刚才的结论其实是不完整的，我们还少了一个信息。

是基于直角坐标系的，通过这个转换：

得到的也是基于直角坐标系的。

只是在线性变换中，我们不称为直角坐标系，我们叫做标准正交基。

标准正交基是，它们所张成的线性空间如下（关于这幅图画的解释，可以参考可以参看：“从高斯消元法到矩阵乘法”以及“如何理解矩阵乘法？”）：

在此基下，完成了镜面反转这个线性变换：

因此，让我们补完之前的结论：

看到这个结论，可能你会想，难道还可以在别的基下？在别的基下是什么情况啊？

好，终于到了我们本文的重点了。

知道了线性变换，让我们回到文章开头就给出的隐喻，看电影。

线性变换就是电影院中播放的电影，不同的基坐在不同的位置观看：

同一部“电影”，不同基“看到”的就是不同的矩阵：

那怎么得到不同基下的矩阵呢？让我们来看看变换的细节。

先上一张图，说明不同基下的矩阵的变换思路，这个图有点复杂，请参照之后的解释一起来看：

下面是对图的解释：

• 有两个基：和
• ，可以通过转换
• ，可以通过转换

整个转换的核心，就是上图正中的文字：

解释下：

• 是下的点
• 通过变为下的点，即
• 在下，通过矩阵完成线性变换，即
• 通过从变回下的点，即

综上，我们可以有：

我们可以认为：

那么和互为相似矩阵。

那就还有一个细节了，的转换矩阵？

这个问题不复杂，只是坐标换来换去的，我尽量讲清楚。

首先我们空间中的一点，比如说点吧：

相信大家可以理解，不论有没有基，这个点都是客观存在的。

然后，我们给出点在的坐标：

为了表示是下的坐标，我们写成这样：

如果我们知道了在下的坐标：

那么有：

此时，实际上点的坐标，已经变到了下的：

坐标已经转换了，继续往下推：

所以其实就是：

要记得啊，上面的是在下的坐标。

这里面稍微复杂点的就是，转换的时候要想清楚到底是在哪个基下！

为什么我们需要相似矩阵呢？

比如这个矩阵：

可以这样分解：

其中

就是对角矩阵，看上去就很清爽，所以说相似变换就是坐标转换，转换到一个更方便计算的简单坐标系。

关于这方面更多的可以参看，如何理解矩阵特征值和特征向量？