让我们从通俗解释开始。

今天《雷神3》上映了，我坐在第一排看电影：

而你坐在最后一排看电影：

我们看的是同一部电影，但是我们各自眼中看到的电影却因为位置不同而有所不同（比如清晰度啊、角度啊），所以说，“第一排看到的电影”和“最后一排看到的电影”是“相似”的。

那么相似矩阵走进的电影院，放映的是哪部电影？也就是说，什么是不变的呢？是线性变换。

刚才给的是相对矩阵的通俗解释，从数学角度上看，相似变换就是进行了坐标转换。

坐标转换是数学中的常用伎俩，目的是简化运算。比如常见的，把直角坐标系（坐标系）的圆方程换元为极坐标（坐标系）下：

图像也从左边变为了右边：

换元之后是不是代数式和图像都变简单了。相似变换也是这样的目的。

什么是线性变换？让我们从函数说起。

函数我们很早就接触了，直观地讲，就是把轴上的点映射到曲线上（下面是函数，把轴上的点映射到了正弦曲线上）：

还有的函数，比如，是把轴上的点映射到直线上，我们称为线性函数：

线性函数其实就是线性变换，为了看起来更像是线性变换，我换一种标记法。

比如之前的，我们可以认为是把点映射到点，我们称为线性变换，记作：

不过按照这个写法，作图就有点不一样了：

矩阵的形式很显然如下：

这样做最直接的好处是，我们可以轻易的摆脱轴的限制。

只要替换为平面内所有的点，我们就可以对整个平面做变换，该线性变换记作：

进而可以写作矩阵的形式：

为了示意整个平面的点都被变换了，我用下面的淡蓝色网格来表示这个线性变换（这个变换实际上镜面反转，为了方便观察增加一个参考点以及虚线表示的反转对称轴）：