相似矩阵的定义是:
则称
让我们从通俗解释开始。
今天《雷神3》上映了,我坐在第一排看电影:
而你坐在最后一排看电影:
我们看的是同一部电影,但是我们各自眼中看到的电影却因为位置不同而有所不同(比如清晰度啊、角度啊),所以说,“第一排看到的电影”和“最后一排看到的电影”是“相似”的。
那么相似矩阵走进的电影院,放映的是哪部电影?也就是说,什么是不变的呢?是线性变换。
刚才给的是相对矩阵的通俗解释,从数学角度上看,相似变换就是进行了坐标转换。
坐标转换是数学中的常用伎俩,目的是简化运算。比如常见的,把直角坐标系(
图像也从左边变为了右边:
换元之后是不是代数式和图像都变简单了。相似变换也是这样的目的。
什么是线性变换?让我们从函数说起。
函数我们很早就接触了,直观地讲,就是把
还有的函数,比如
线性函数其实就是线性变换,为了看起来更像是线性变换,我换一种标记法。
比如之前的
不过按照这个写法,作图就有点不一样了:
矩阵的形式很显然如下:
这样做最直接的好处是,我们可以轻易的摆脱
只要替换
进而可以写作矩阵的形式:
为了示意整个平面的点都被变换了,我用下面的淡蓝色网格来表示这个线性变换(这个变换实际上镜面反转,为了方便观察增加一个参考点
我们记:
我们可以得到更简便的记法(这种形式看起来也更像线性方程
反正
而
慢着!刚才的结论其实是不完整的,我们还少了一个信息。
得到的
只是在线性变换中,我们不称为直角坐标系,我们叫做标准正交基。
标准正交基是
因此,让我们补完之前的结论:
看到这个结论,可能你会想,难道还可以在别的基下?在别的基下是什么情况啊?
好,终于到了我们本文的重点了。
知道了线性变换,让我们回到文章开头就给出的隐喻,看电影。
线性变换就是电影院中播放的电影,不同的基坐在不同的位置观看:
同一部“电影”,不同基“看到”的就是不同的矩阵:
那怎么得到不同基下的矩阵呢?让我们来看看变换的细节。
先上一张图,说明不同基下的矩阵的变换思路,这个图有点复杂,请参照之后的解释一起来看:
下面是对图的解释:
整个转换的核心,就是上图正中的文字:
解释下:
综上,我们可以有:
我们可以认为:
那么
那就还有一个细节了,
这个问题不复杂,只是坐标换来换去的,我尽量讲清楚。
首先我们空间中的一点,比如说
相信大家可以理解,不论有没有基,这个点都是客观存在的。
然后,我们给出
为了表示
如果我们知道了
那么有:
此时,实际上
坐标已经转换了,继续往下推:
所以
要记得啊,上面的
这里面稍微复杂点的就是,转换的时候要想清楚到底是在哪个基下!
为什么我们需要相似矩阵呢?
比如这个
可以这样分解:
其中
关于这方面更多的可以参看,如何理解矩阵特征值和特征向量?