如何理解相似矩阵?

观看一场电影与相似矩阵的关系。

相似矩阵的定义是:

都是阶矩阵,若有可逆矩阵,使

则称的相似矩阵,或说相似。

----《线性代数》同济版

让我们从通俗解释开始。

1 通俗解释

今天《雷神3》上映了,我坐在第一排看电影:

而你坐在最后一排看电影:

我们看的是同一部电影,但是我们各自眼中看到的电影却因为位置不同而有所不同(比如清晰度啊、角度啊),所以说,“第一排看到的电影”和“最后一排看到的电影”是“相似”的。

那么相似矩阵走进的电影院,放映的是哪部电影?也就是说,什么是不变的呢?是线性变换。

2 坐标转换

刚才给的是相对矩阵的通俗解释,从数学角度上看,相似变换就是进行了坐标转换。

坐标转换是数学中的常用伎俩,目的是简化运算。比如常见的,把直角坐标系(坐标系)的圆方程换元为极坐标(坐标系)下:

图像也从左边变为了右边:

换元之后是不是代数式和图像都变简单了。相似变换也是这样的目的。

3 线性变换

什么是线性变换?让我们从函数说起。

3.1 线性函数

函数我们很早就接触了,直观地讲,就是把轴上的点映射到曲线上(下面是函数,把轴上的点映射到了正弦曲线上):

还有的函数,比如,是把轴上的点映射到直线上,我们称为线性函数:

3.2 从线性函数到线性变换

线性函数其实就是线性变换,为了看起来更像是线性变换,我换一种标记法。

比如之前的,我们可以认为是把点映射到点,我们称为线性变换,记作:

不过按照这个写法,作图就有点不一样了:

矩阵的形式很显然如下:

这样做最直接的好处是,我们可以轻易的摆脱轴的限制。

只要替换为平面内所有的点,我们就可以对整个平面做变换,该线性变换记作:

进而可以写作矩阵的形式:

为了示意整个平面的点都被变换了,我用下面的淡蓝色网格来表示这个线性变换(这个变换实际上镜面反转,为了方便观察增加一个参考点以及虚线表示的反转对称轴):