刚开始学习线性微分方程的时候，我心中有两个疑问：
-
线性微分方程为什么有“线性”这两个字？
-
为什么线性微分方程的通解里面有？
这篇文章就来回答这两个问题。让我们从什么是线性变换开始。
先直观感受一下什么是线性变换。
1.1 线性变换的几何意义
直观来说，线性变换就是把直线上的点（向量），变换到另外一根直线上去。关于这个问题更具体的解释，请参看文章
如何理解相似矩阵的前半部分。
比如下图，把虚线上的点，变换到实线上去：
或者把整个二维平面上的直线换个位置（下面是一个镜面翻转，为了方便观察，标出一个，虚线表示翻转的对称轴）：
1.2 微分算子
我们来看一个不一样的向量，对于多项式函数：
我们以为基（关于多项式的基，可以参看《线性代数应该这样学》这样的高等代数教材），可以把它转为向量：
画出来图来就是（三个坐标轴分别表示这三个基，当然这里有点不严格，准确来说，三个基并不是两两正交的）：