如何理解置信区间?

置信区间,就是一种区间估计。
置信区间,就是一种区间估计。
先来看看什么是点估计,什么是区间估计。
1 点估计与区间估计
以前很流行一种刮刮卡:
游戏规则是(假设只有一个大奖):
  • 大奖事先就固定好了,一定印在某一张刮刮卡上
  • 买了刮刮卡之后,刮开就知道自己是否中奖
那么我们起码有两种策略来刮奖:
  • 点估计:买一张,这就相当于你猜测这一张会中奖
  • 区间估计:买一盒,这就相当于你猜测这一盒里面会有某一张中奖
很显然区间估计的命中率会更高(当然费用会更高,因为风险降低了)。
接下来,我们看看置信区间是如何进行区间估计的。
2 置信区间
我们通过对人类身高的估计来讲解什么是置信区间。
2.1 上帝视角
对于人类真实的平均身高,我们是没有办法知道的,因为几乎不可能把每个人都统计到。
但这个数据肯定是真实存在的,我们可以说,上帝知道。
在这里我们引入了上帝视角,即上帝看到的人类身高的真实分布。
假设人类的身高分布服从如下正态分布():
也就是说全体人类的平均身高为145cm,为了表示只有上帝可以看到,我把真实分布用虚线来表示:
2.2 点估计
作为愚蠢的人类,我们只能在人群中抽样统计:
比如下面是一次抽样数据,我把算出来的样本均值(记作)画在图上(蓝色的点):
就是对真实的的一次点估计。
通过一次次的抽样,我们可以算出不同的身高均值的点估计:
如果我们关闭上帝视角,我们分辨不出哪个点估计更好:
区间估计可以改进此问题。
2.3 置信区间
置信区间,提供了一种区间估计的方法。
下面采用置信区间来构造区间估计(什么是置信区间,这个我们后面解释):
通过置信区间构造出来的区间,我们可以看到,基本上都包含了真实的,除了红色的那根。
关闭上帝视角,我们仍然不知道哪一个区间估计更好:
但是,和点估计比较:
  • 点估计和区间估计,都不知道哪个点或者哪个区间更好
  • 但是,按照置信区间构造出来的区间,随便选一个区间,有的概率会包含
这就好像用渔网捞鱼,我知道每一网下去有的几率捞到想要的那条鱼,但是并不知道是不是现在这一网:
剩下的问题就是置信区间是如何构造的。
3 置信区间
假设人群的身高服从:
其中未知,已知。
我们不断对人群进行采样,样本的大小为,样本的均值:
根据大数定律和中心极限定律,服从:
我们可以算出以为中心,面积为0.95的区间,如下图:
即:
也就是,的几率落入此区间:
那自然,我们以为半径做区间,有的概率把包含进去:
那么,只有一个问题了,我们不知道、并且永远都不会知道真实的是多少。
我们就只有用来代替
4 总结
总结一下:
  • 置信区间要求估计量是个常数
  • 也被称为置信水平,是统计中的一个习惯,可以根据应用进行调整
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马同学高等数学
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