马同学

如何理解矩阵乘法？

矩阵乘法就是线性函数。
矩阵乘法，这个名字是有历史原因的。详情可以参见“从高斯消元法到矩阵乘法”。
更正确的观点是把矩阵看作函数，这样或许很多疑惑就可以迎刃而解。
1 矩阵是一个函数
1.1 直线函数与矩阵
我们熟悉的直线函数：
把点映射到点：
我们通过矩阵：
也可以完成这个映射。
令：
也可以完成：
1.2 矩阵的优点
对于：
只能完成实数到实数的映射：
但是：
可以完成更广泛的映射：
为了完成这一点，矩阵就不再是系数了，而是一个函数（或者说是映射）。
或许写成这样，矩阵乘法看起来更像是函数：
假设所在平面为，而所在平面为，通过矩阵映射到了，可以如下表示：
这个映射的特殊之处是，上的直线通过映射到上也是直线：
所以矩阵也被称为线性映射。
2 矩阵函数的工作方式
我们来看看矩阵是如何工作的。
为了方便后面的讲解，把之前表示线性映射的3D图变为2D图：
为了画图方便，所在平面为、所在平面为，都是二维平面，即。
2.1 坐标
研究线性映射，最重要的是搞清楚当前处在哪个基下。我们先来看看：
的基。
的基默认为各自向量空间下的自然基，其自然基为（即下的自然基）：
所以：
如下，表示在各自向量空间的自然基下：
2.2 映射法则的工作原理
为了说清楚映射法则是怎么工作的，我们把也用一个空间表示，会通过映射到：
若：
其中为的列向量。
根据矩阵乘法的规则有：
则相当于在空间中，以为基，坐标为的向量：