马同学

如何理解矩阵乘法？

矩阵乘法就是线性函数。
矩阵乘法，这个名字是有历史原因的。详情可以参见“从高斯消元法到矩阵乘法”。
更正确的观点是把矩阵看作函数，这样或许很多疑惑就可以迎刃而解。
1 矩阵是一个函数
1.1 直线函数与矩阵
我们熟悉的直线函数：
把点映射到点：
我们通过矩阵：
也可以完成这个映射。
令：
也可以完成：
1.2 矩阵的优点
对于：
只能完成实数到实数的映射：
但是：
可以完成更广泛的映射：
为了完成这一点，矩阵就不再是系数了，而是一个函数（或者说是映射）。
或许写成这样，矩阵乘法看起来更像是函数：
假设所在平面为，而所在平面为，通过矩阵映射到了，可以如下表示：
这个映射的特殊之处是，上的直线通过映射到上也是直线：
所以矩阵也被称为线性映射。
2 矩阵函数的工作方式
我们来看看矩阵是如何工作的。
为了方便后面的讲解，把之前表示线性映射的3D图变为2D图：
为了画图方便，所在平面为、所在平面为，都是二维平面，即。
2.1 坐标
研究线性映射，最重要的是搞清楚当前处在哪个基下。我们先来看看：
的基。
的基默认为各自向量空间下的自然基，其自然基为（即下的自然基）：
所以：
如下，表示在各自向量空间的自然基下：
2.2 映射法则的工作原理
为了说清楚映射法则是怎么工作的，我们把也用一个空间表示，会通过映射到：
若：
其中为的列向量。
根据矩阵乘法的规则有：
则相当于在空间中，以为基，坐标为的向量：
再将向量用自然基表示:
整体来说，就是基改变，导致向量的坐标发生变化：
2.3 传送门
有点像可以穿越时空的传送门：
只是这是一个比较死板的传送门，它的传送规则是，根据你进入传送门的时空坐标，把你送到另外一个时空对应的位置：
3 复合函数
通过把映射到：
再通过把映射到：
矩阵的乘法可以如下图所示：
所以实际上就是复合函数：
4 矩阵乘法不满足交换律
函数一般是不满足交换律的，比如：
那么：
那么矩阵乘法不满足交换律也很好理解了。
5 总结
弄清楚矩阵就是函数之后，很多定理、性质都可以很清晰的推出，这个我们后面再讲。
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