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向量空间单元测试

单元测试
已a知向量组
则下列说法正确的是：
向量组能表示中所有向量，反之则不能。
向量组能表示中所有向量，反之则不能。
向量组能互相表示。
以上都不正确
因为:
因此的秩为2。
而可以线性表示
根据，两个向量组秩相同，若其中一个能线性表示另外一个，则它们是等价的，可以得到
设线性无关，线性相关，则的值为？
假设：
推出：
与线性无关矛盾，所以有：
因此：
令
注意：用可以得到选项。但这样是不对的，因为分母可能为零向量。
设线性相关,线性相关，则是否一定线性相关
是
否
不一定线性相关，如
线性相关,
,线性无关。
为维向量组，下列说法中正确的是：
1和3正确
1和4正确
2和3正确
2和4正确
线性无关的向量，升维后仍线性无关
假设三个三维向量线性无关。
那么当且仅当：
将向量升维后：
同样有当且仅当:
所以线性无关的向量，升维后仍然线性无关。
线性相关的向量，降维后仍线性相关
假设三个四维向量线性相关。
那么存在不全为的,使得
将向量降维后同样有：
所以线性相关的向量，降维后仍然线性相关
已知向量组
的秩为,的秩为
且中向量均可由中向量表示:
下列说法中正确的是
的秩为
的秩为
的秩为
的秩为
的向量能表示的向量，即的极大线性无关组也是向量组的极大线性无关组。
的秩为
已知维列向量组
线性无关，则维列向量组
线性无关的充要条件是：
向量组可由向量组线性表出
向量组可由向量组线性表出
向量组与向量组等价
以上都不正确
由题意可得向量组线性无关的充要条件为：
A选项
可由表出可得
不是充要条件。
B选项
可由表出可得
不是充要条件。
C选项
等价，可以得到
但是不能得到等价
不是充要条件
所以以上答案都不正确
张成的向量空间是张成的向量空间的子空间的充要条件是，
向量组可由向量组线性表出
向量组可由向量组线性表出
以上都不正确
张成的向量空间是张成的向量空间的子空间的充要条件为：
即的极大线性无关组也是向量组
的极大线性无关组。
A选项
可由表出可得
是充要条件。
B选项
可由表出可得
不是充要条件。
C选项
不是充要条件。
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