$e$是数学里面重要的无理数，$e\approx 2.718$对于认识$e$毫无帮助，那么多无理数，为什么偏偏要给$e$一个专用的符号？是因为$e$在数学中有着各种特性，$\frac{d}{dx}e^ x=e^ x$可以揭示出$e$本身的一些特性。

1 根据指数函数的特性

同底指数乘法有一个特性：$a^ b a^ d = a^{b+d}$。那么对于$f(x)=a^ x$而言，设$c$为常数，$cf(x) = c a^ x = a^{log_ a c} a^ x = a^{x + log_ a c} = f(x + log_ a c)$，即$cf(x) = f(x + log_ a c)$：

了解了指数函数这个特性之后，我们观察下指数函数的导数（切线斜率）：

根据上图可以得出，$f'(x_0 + log_ a c)=cf'(x_0)$，令$x_0=0\implies f'(log_ a c)=cf'(0)$，进一步简化形式$log_ a c = b \implies f'(b)=a^ bf'(0)$

指数函数这个特性，就是在说明一个事实，指数函数的斜率（导数）由原函数和$f'(0)$决定！

可是说了这么久，还是没有出现$e$啊，是不是我们应该进一步根据$f'(x)=a^ xf'(0)$去证明让$f'(0)=1$的$a$就是$e$？

其实我们完全不需要这么去做，我们关心的只是$e$有哪些特性，我们可以反过来定义

所以$\frac{d}{dx}e^ x=e^ x$源于指数函数的特性，并且$e$是个非常特殊的值，使得$f'(0)=1$。

2 根据e的定义

假设$\frac{d}{dx}a^ x=a^ x$这个方程成立，我们求解一下，a会等于多少？

由导数定义可得，$\displaystyle \frac{d}{dx}a^ x=\lim _{h \to 0}\frac{a^{x+h}-a^ x}{h}=\lim _{h \to 0}\frac{a^ x(a^ h-1)}{h}$

所以方程就可以表示为，$\displaystyle \lim _{h \to 0}\frac{a^ x(a^ h-1)}{h}=a^ x$，因为$a^ x>0$，所以两边约分之后可以得到$\displaystyle \lim _{h \to 0}\frac{a^ h-1}{h}=1$，简单的移项处理下，$\displaystyle a=\lim _{h \to 0}(1+h)^{\frac{1}{h}}$，我们令$n=\frac{1}{h}$，可以得到$\displaystyle a=\lim _{n \to \infty }(1+\frac{1}{n})^ n$。

在求解$\frac{d}{dx}a^ x=a^ x$的过程中，我们“自然而然”的遇到自然对数的底$e$。所以，$\frac{d}{dx}e^ x=e^ x$因为$e$的定义。

3 根据线性变换的特征向量

我们可以扩展下线性变换的定义，满足下列两个条件就可以称为线性变换：

可加性：$f(x+y)=f(x)+f(y)$

齐次性：$f(ax)=af(x)$

$\frac{d}{dx}$微分运算很显然符合线性变换的条件，所以微分就是线性变换，线性空间的维度扩大到了无穷维。

根据$Av=\lambda v$，对于微分而言，有$\frac{d}{dx}e^{\lambda x}=\lambda e^{\lambda x}$，即微分的特征向量（这个时候更多称为特征函数）是$e^{\lambda x}$。

特征向量是线性变换中的不变量（只有伸缩变换），比如下面的蒙娜丽莎，斜向拉伸之后，你还是认得出来，就是因为图片中有不变的特征向量。

对于微分这个线性变换而言，$e^ x$就是其不变的特征向量，有个笑话：常函数和指数函数$e^ x$走在街上,远远看到微分算子,常函数吓得慌忙躲藏,说：“被它微分一下,我就什么都没有啦!”指数函数不慌不忙道：“它可不能把我怎么样,我是$e^ x$!”

假如有一天，《三体》里面的外星人，觉得“二向箔”不过瘾，发明了一个"微分箔"来攻击地球，你唯一的选择就是赶快把自己变成$e^ x$。