此前在“如何通俗地理解傅立叶变换？”尝试给对傅立叶级数、傅立叶变换进行过稍微直观点的解释。本文会对公式进行细节的、代数上的解释。

拉格朗日等数学家发现某些周期函数可以由三角函数的和来表示，比如下图中，黑色的斜线就是周期为的函数，而红色的曲线是三角函数之和，可以看出两者确实近似：

而另外一位数学家：

让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶男爵（1768 －1830）猜测任意周期函数都可以写成三角函数之和。

假设是周期为的函数，傅里叶男爵会怎么构造三角函数的和，使之等于？

对于这样的常数函数：

根据周期函数的定义，常数函数是周期函数，周期为任意实数。

所以，分解里面得有一个常数项。

首先，是周期函数，进行合理的加减组合，结果可以是周期函数。

其次，它们的微分和积分都很简单。

然后，是奇函数，即：

从图像上也可以看出，关于原点对称，是奇函数：

而奇函数与奇函数加减只能得到奇函数，即：

其中，表示奇函数。

而是偶函数，即：

从图像上也可以看出，关于轴对称，是偶函数：

同样的，偶函数与偶函数加减只能得到偶函数，即：

其中，表示偶函数。

但是任意函数可以分解和奇偶函数之和：

所以同时需要。

之前说了，是周期为的函数，我们怎么保证组合出来的函数周期依然为呢？

比如下面这个函数的周期为：

很显然，的周期也是：

的周期也是，虽然最小周期是：

很显然，的周期都是：

更一般的，如果的周期为，那么：

这些函数的周期都为。

将这些函数进行加减，就保证了得到的函数的周期也为。

现在我们有一堆周期为的函数了，比如说：

通过调整振幅可以让它们慢慢接近目标函数，比如看起来处处都比目标函数低一些：

把它的振幅增加一倍：

有的地方超出去了，从周期为的函数中选择一个，减去一点：

调整振幅，加加减减，我们可以慢慢接近目标函数：