马同学

如何理解傅立叶级数公式？

傅立叶级数、傅立叶变换实际上就是线性组合。
此前在“如何通俗地理解傅立叶变换？”尝试给对傅立叶级数、傅立叶变换进行过稍微直观点的解释。本文会对公式进行细节的、代数上的解释。
1 对周期函数进行分解的猜想
拉格朗日等数学家发现某些周期函数可以由三角函数的和来表示，比如下图中，黑色的斜线就是周期为的函数，而红色的曲线是三角函数之和，可以看出两者确实近似：
而另外一位数学家：
让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶男爵（1768 －1830）猜测任意周期函数都可以写成三角函数之和。
2 分解的思路
假设是周期为的函数，傅里叶男爵会怎么构造三角函数的和，使之等于？
2.1 常数项
对于这样的常数函数：
根据周期函数的定义，常数函数是周期函数，周期为任意实数。
所以，分解里面得有一个常数项。
2.2 通过进行分解
首先，是周期函数，进行合理的加减组合，结果可以是周期函数。
其次，它们的微分和积分都很简单。
然后，是奇函数，即：
从图像上也可以看出，关于原点对称，是奇函数：
而奇函数与奇函数加减只能得到奇函数，即：
其中，表示奇函数。
而是偶函数，即：
从图像上也可以看出，关于轴对称，是偶函数：
同样的，偶函数与偶函数加减只能得到偶函数，即：
其中，表示偶函数。
但是任意函数可以分解和奇偶函数之和：
所以同时需要。
2.3 保证组合出来周期为
之前说了，是周期为的函数，我们怎么保证组合出来的函数周期依然为呢？
比如下面这个函数的周期为：
很显然，的周期也是：
的周期也是，虽然最小周期是：
很显然，的周期都是：
更一般的，如果的周期为，那么：
这些函数的周期都为。
将这些函数进行加减，就保证了得到的函数的周期也为。
2.4 调整振幅
现在我们有一堆周期为的函数了，比如说：
通过调整振幅可以让它们慢慢接近目标函数，比如看起来处处都比目标函数低一些：
把它的振幅增加一倍：
有的地方超出去了，从周期为的函数中选择一个，减去一点：
调整振幅，加加减减，我们可以慢慢接近目标函数：
2.5 小结
综上，构造出来的三角函数之和大概类似下面的样子：
这样就符合之前的分析：
  • 有常数项
  • 奇函数和偶函数可以组合出任意函数
  • 周期为
  • 调整振幅，逼近原函数
之前的分析还比较简单，后面开始有点难度了。即怎么确定这三个系数：
3 的另外一种表示方法
直接不好确定，要迂回一下，先稍微介绍一下什么是：？
3.1
看到复数也不要怕，根据之前的文章如何通俗易懂地解释欧拉公式，看到类似于这种就应该想到复平面上的一个夹角为的向量：
那么当不再是常数，而是代表时间的变量的时候：
随着时间的流逝，从0开始增长，这个向量就会旋转起来，秒会旋转一圈，也就是：
3.2 通过表示
根据欧拉公式，有：
所以，在时间轴上，把向量的虚部（也就是纵坐标）记录下来，得到的就是：
在时间轴上，把向量的虚部记录下来，得到的就是：
如果在时间轴上，把的实部（横坐标）记录下来，得到的就是的曲线：
更一般的我们认为，我们具有两种看待的角度：
这两种角度，一个可以观察到旋转的频率，所以称为频域；一个可以看到流逝的时间，所以称为时域：
4 通过频域来求系数
4.1 函数是线性组合
假设有这么个函数：
是一个的函数：
如果转到频域去，那么它们是下面这个复数函数的虚部：
先看看，其中是常数，很显然这是两个向量之和：
现在让它们动起来，把变成流逝的时间，并且把虚部记录下来：
我们令：
这里用大写的来表示复数函数。
刚才看到了，和都是向量，所以上式可以写作：
这里就是理解的重点了，从线性代数的角度：
是的虚部，所以取虚部，很容易得到：
即是基的线性组合。
那么的系数，实际上是在基下的坐标了。
4.2 如何求正交基的坐标
有了这个结论之后，我们如何求坐标？
我们来看个例子，假设：
其中
通过点积（关于点积可以参考如何理解协方差、相关系数和点积？）：
可知这两个向量正交，是正交基。图示如下：
通过点积可以算出的系数（对于正交基才可以这么做）：
4.3 如何求基下的坐标
在这里抛出一个结论（可以参考无限维的希尔伯特空间），函数向量的点积是这么定义的：
其中，是函数向量，是基，是的周期。
那么对于：
其中，是向量，是基，周期。
根据刚才内积的定义：
所以是正交基，那么根据刚才的分析，可以这么求坐标：
4.4 更一般的
对于我们之前的假设，其中周期为：
可以改写为这样：
也就是说向量的基为：
是的，也是基。
那么可以得到：
也可以通过点积来表示，最终我们得到：
其中：
怎么把傅立叶级数推导到傅立叶变换，请参看：从傅立叶级数到傅立叶变换。
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