如何理解傅立叶级数公式?

傅立叶级数、傅立叶变换实际上就是线性组合。
此前在“如何通俗地理解傅立叶变换?”尝试给对傅立叶级数、傅立叶变换进行过稍微直观点的解释。本文会对公式进行细节的、代数上的解释。
1 对周期函数进行分解的猜想
拉格朗日等数学家发现某些周期函数可以由三角函数的和来表示,比如下图中,黑色的斜线就是周期为的函数,而红色的曲线是三角函数之和,可以看出两者确实近似:
而另外一位数学家:
让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶男爵(1768 -1830)猜测任意周期函数都可以写成三角函数之和。
2 分解的思路
假设是周期为的函数,傅里叶男爵会怎么构造三角函数的和,使之等于
2.1 常数项
对于这样的常数函数:
根据周期函数的定义,常数函数是周期函数,周期为任意实数。
所以,分解里面得有一个常数项
2.2 通过进行分解
首先,是周期函数,进行合理的加减组合,结果可以是周期函数。
其次,它们的微分和积分都很简单。
然后,是奇函数,即:
从图像上也可以看出,关于原点对称,是奇函数:
而奇函数与奇函数加减只能得到奇函数,即:
其中,表示奇函数。
是偶函数,即:
从图像上也可以看出,关于轴对称,是偶函数:
同样的,偶函数与偶函数加减只能得到偶函数,即:
其中,表示偶函数。
但是任意函数可以分解和奇偶函数之和:
所以同时需要
2.3 保证组合出来周期为
之前说了,是周期为的函数,我们怎么保证组合出来的函数周期依然为呢?
比如下面这个函数的周期为
很显然,的周期也是
的周期也是,虽然最小周期是
很显然,的周期都是
更一般的,如果的周期为,那么:
这些函数的周期都为
将这些函数进行加减,就保证了得到的函数的周期也为
2.4 调整振幅
现在我们有一堆周期为的函数了,比如说
通过调整振幅可以让它们慢慢接近目标函数,比如看起来处处都比目标函数低一些:
把它的振幅增加一倍:
有的地方超出去了,从周期为的函数中选择一个,减去一点:
调整振幅,加加减减,我们可以慢慢接近目标函数: