秩零定理
1.1
Q：齐次线性方程组
$$\begin{cases} x_1+x_2+x_3=0\\ 2x_1-x_2+3x_3=0\end{cases}$$
的基础解系所含解向量的个数为：
A：系数矩阵$A=\begin{pmatrix} 1
& 2
& 3
\\ 2
& -1
& 3
\end{pmatrix}$。$r(A)=2$
设解向量的个数为$r$。
由秩零定理$r+r(A)=3$可以知道$r=1$
1.2
已知三阶矩阵A的第一行为$(a,b,c)。a,b,c$不全为0，矩阵$B=\begin{pmatrix} 1
& 2
& 3
\\ 2
& 4
& 6
\\ 3
& 6
& k
\end{pmatrix}$，且$AB=O$，求方程组$A\vec{x}=\vec{0}$的解。
$AB=O$可以知道$r(A)+r(B) \leq 3$。
且B的每一列都是$A\vec{x}=\vec{0}$的解。
当$k\neq 9$时，$r(B)=2$
所以$r(A)=1$，$A\vec{x}=0$的通解为$k_1\begin{pmatrix} 1
\\ 2
\\ 3
\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix} 3
\\ 6
\\ k
\end{pmatrix}$，$k_1,k_2$为任意常数。
当$k = 9$时,$r(B)=1$,$r(A)=1$或$r(A)=2$
当$r(A)=2$时：
$A\vec{x}=\vec{b}$的通解为：$k_1\begin{pmatrix} 1
\\ 2
\\ 3
\end{pmatrix}$
当$r(A)=1$时，$A\vec{x}=\vec{0}$的同解方程组为$ax_1+bx_2+cx_3=0$
$a,b,c$不全为0
$a\neq 0$时，通解为：$k_1\begin{pmatrix} -\frac{b}{a}
\\ 1
\\ 0
\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix} -\frac{c}{a}
\\ 0
\\ 1
\end{pmatrix}$
$b\neq 0$时，通解为：$k_1\begin{pmatrix} 1
\\ -\frac{a}{b}
\\ 0
\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix} 0
\\ -\frac{c}{b}
\\ 1
\end{pmatrix}$
$c\neq 0$时，通解为：$k_1\begin{pmatrix} 1
\\ 0
\\ -\frac{a}{c}
\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix} 0
\\ 1
\\ -\frac{b}{c}
\end{pmatrix}$
1.3
已知4元非齐次线性方程组的系数矩阵秩为3，已知$\vec{n_1},\vec{n_2},\vec{n_3}$是它的三个解向量，$n_1=(2,3,4,5)^ T$,$n_2+n_3=(1,2,3,4)^ T$，求方程的通解。
A：$2\vec{n_1}-(\vec{n_2}+\vec{n_3})=(3,4,5,6)^ T$是$A\vec{x}=\vec{0}$的一个解。
$A\vec{x}=\vec{0}$的通解为$k(3,4,5,6)^ T$
方程的通解为：
$\vec{x}=(2,3,4,5)^ T+k(3,4,5,6)^ T$
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