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马同学

“广义相对论的钥匙：张量”专题之二

“张量”是广义相对论的钥匙，用来表示与坐标无关的量。
之前的章节：如何理解张量，一
下面的代数比较多，看着烦的，看看图也能明白大概的意思。
上一节说了，向量空间以及向量空间中的向量，都是张量，它们的特点是：
  • 本身是几何对象，与基无关
  • 不同的基下，有不同的代数表达
  • 并且，不同的代数表达之间有明确的转换规则
我们来看看，向量空间以及向量空间中的向量的代数表达与转换规则是怎么进行的。
1 向量空间
比如说，向量空间\mathbb{R}^2，下面用一个有颜色的方框来表示：
\mathbb{R}^2可以用不同的基来张成：
上图中的左边的基就是单位正交基，代数形式为：
\vec{e_1}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\quad\vec{e_2}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}
上图中的右边的基为：
\vec{e'_1}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\quad\vec{e'_2}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}
看看两个基之间是如何转换的。
1.1 \vec{e_i}到\vec{e'_i}
我们看看这个方向的转换是如何完成的：
首先容易知道：
\vec{e'_1}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=1\vec{e_1}+1\vec{e_2}\\\vec{e'_2}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}=-1\vec{e_1}+1\vec{e_2}
让我们定义一个矩阵：
有了矩阵之后，就可以写简洁一点了：
因此，我们可以通过矩阵F（F表示forward，我们把这个方向视作向前转换）来完成这个转换：
1.2 \vec{e'_i}到\vec{e_i}
那么反方向怎么完成呢？可以知道（大家自己可以验算一下）：
\vec{e_1}=0.5\vec{e'_1}-0.5\vec{e'_2}\\\vec{e_2}=0.5\vec{e'_1}+0.5\vec{e'_2}
同样我们定义一个矩阵B（B表示backward，我们把这个方向视作向后转换）：
B=\begin{pmatrix}0.5&0.5\\-0.5&0.5\end{pmatrix}
因此：
额外说一句，比较容易验算：
FB=I
其中，I是单位阵。
上式说明F,B是互逆的，这点也比较容易理解，毕竟向前转换和向后转换是一个互逆的操作。
1.3 小结
综上，两个基的转换如图：
代数式如下：
\displaystyle \begin{cases} \vec{e'_j}=\displaystyle\sum_{i=1}^{2}F_{ij}\vec{e_i}\\ \vec{e_j}=\displaystyle\sum_{i=1}^{2}B_{ij}\vec{e'_i} \end{cases}
当然，上面这个代数式很容易推向\mathbb{R}^n：
\begin{cases} \vec{e'_j}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}F_{ij}\vec{e_i}\\ \vec{e_j}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}B_{ij}\vec{e'_i} \end{cases}
根据我们上一篇总结的，有：
  • \mathbb{R}^n是一个几何对象，它与基无关
  • 可以由基\vec{e_i}或者\vec{e'_i}来表示
  • 基之间可以借由矩阵F,B来相互转换
那么刚才写过的代数式：
\begin{cases} \vec{e'_j}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}F_{ij}\vec{e_i}\\ \vec{e_j}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}B_{ij}\vec{e'_i} \end{cases}
完整的表达了上述三点，也就是一种张量。
2 向量
我们来看另外一种张量，向量。
在刚才的两个基下，同一个点有不同的坐标：
上图中的左边的点的坐标值为：
\displaystyle\vec{v_{}}=\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}=0\vec{e_1}+2\vec{e_2}=\sum_{i=1}^{2}v_i\vec{e_i}
其中，v_i表示\vec{v_{}}的元素。
右边的点的坐标值为：
\displaystyle\vec{v'}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=1\vec{e'_1}+1\vec{e'_2}=\sum_{i=1}^{2}v'_i\vec{e'_i}
其中，v'_i表示\vec{v'}的元素。
根据之前得出的式子：
\begin{cases} \vec{e'_j}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}F_{ij}\vec{e_i}\\ \vec{e_j}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}B_{ij}\vec{e'_i} \end{cases}
可以推出如下的转换规则（可自行推算）：
\vec{v'}=B\vec{v_{}}\quad\vec{v_{}}=F\vec{v'}
为了写得和刚才的代数形式一致，把上式改为：
\begin{cases} v'_i=\displaystyle\sum_{j=1}^{2}B_{ij}v_j\\ v_i=\displaystyle\sum_{j=1}^{2}F_{ij}v'_j\\ \end{cases}
当然，这个式子也很容易推向\mathbb{R}^n中的向量：
\begin{cases} v'_i=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}B_{ij}v_j\\ v_i=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}F_{ij}v'_j\\ \end{cases}
2.1 小结
刚才向量的转换关系，图示如下：
根据我们上一篇总结的，有：
  • 向量是一个几何对象，它与基无关
  • 它的坐标值，在基\vec{e_i}或者\vec{e'_i}中不同
  • 不同的坐标值可以借由矩阵F,B来相互转换
那么，下述代数式，也就是描述向量的张量：
\begin{cases} v'_i=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}B_{ij}v_j\\ v_i=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}F_{ij}v'_j\\ \end{cases}
3 协变量、逆变量
不知道刚才大家注意没有？基变换的时候与坐标转换的时候有所不同：
两者之间，相同变换方向，F,B矩阵却是反的。
我们用一个更直观的方式来展示这种相反的变化：
可以发现，当基变长的时候，坐标值却在变小，两者的变化方向是反的。
还有，基逆时针旋转达到的效果：
与向量顺时针旋转达到的效果是相同的：
运动是相对的，两者变化方向虽然相反，取得的结果却是相同的。
以基变换为基准，与基变换方向一致的，我们称为协变量（covariant），与其相反的称为逆变量（contravariant）。
那么，张量：
4 爱因斯坦标记法
刚才的求和公式真的看的眼花缭乱，还好爱因斯塔发明了一种标记法，爱因斯坦与友人半开玩笑地说：“这是数学史上的一大发现，若不信的话，可以试着返回那不使用这方法的古板日子。”
4.1 第一个约定
首先，爱因斯坦标记法区分了协变量和逆变量，下标表示协变量，上标表示逆变量：
这个也可以如下修改：
\displaystyle\vec{v_{}}=\sum_{i=1}^{2}v_i\vec{e_i}\implies\vec{v_{}}=\sum_{i=1}^{2}v^{\color{red}i}\vec{e_i}
两相对比，看起来一目了然，知道坐标是逆变量，而基是协变量。
4.2 第二个约定
另外一个约定是，对于矩阵中的元素，比如说：
F_{ij}
把前面一个i写成上标，后面一个j写成下标，即：
F_{ij}\to F^i_j
这么写的好处，咱们后面马上就可以看到。
4.3 第三个约定
还有一个重要约定是，如果\sum中上标或者下标中，单独一个变量出现两次，就可以去除\sum符号，比如：
\displaystyle\vec{v_{}}=\sum_{i=1}^{2}v^{\color{red}i}\vec{e_{\color{red}i}}
可以看到，i在上标、下标中，共计出现两次，那么上式可以写作：
\vec{v_{}}=v^{i}\vec{e_{i}}
这两种写法是等同的，后面这个写法看起来更清爽，还有一个附加作用，就是可以把重复出现的上标、下标视作消去（只是视作，没有真正发生）：
\require{cancel}\vec{v_{}}=v^{\cancel{i}}\vec{e_{\cancel{i}}}
这个用在下面代数式中更清晰：
\begin{cases} \vec{e'_j}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}F^i_j\vec{e_i}\\ \vec{e_j}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}B^i_j\vec{e'_i} \end{cases}
首先，根据刚才的规则，把\sum去除：
\begin{cases} \vec{e'_j}=F^i_j\vec{e_i}\\ \vec{e_j}=B^i_j\vec{e'_i} \end{cases}
然后，运用消除大法：
\require{cancel} \begin{cases} \vec{e'_j}=F^\cancel{i}_j\vec{e_\cancel{i}}\\ \vec{e_j}=B^\cancel{i}_j\vec{e'_\cancel{i}} \end{cases}
等式右边消除i之后，在等式左边就只剩下j了；而且，剩下的j还指明应该是上标还是下标。
是否这样就更容易记住公式了。
5 总结
向量空间V的基与向量的转换关系如图：
向量空间V的基是协变量，用爱因斯坦标记法表示为：
\begin{cases} \vec{e'_j}=F^i_j\vec{e_i}\\ \vec{e_j}=B^i_j\vec{e'_i} \end{cases}
向量空间中的向量是逆变量，用爱因斯坦标记法表示为：
\begin{cases} v'^i=B^i_jv^j\\ v^i=F^i_jv'^j\\ \end{cases}
张量可以由协变量和逆变量来表示。张量的类型可以表示为：
(m,n)
其中，m为逆变量的个数，n为协变量的个数。
那么向量空间V的基是协变量，可以表示为(0,1)型张量，意思是，只由一个协变量构成。
同理可知，向量空间中的向量是(1,0)型张量。
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