如何通俗地解释泰勒公式?

泰勒公式告诉我们,怎么把铁丝弯成不同的样子

泰勒公式一句话描述:就是用多项式函数去逼近光滑函数。

先来感受一下:

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设$n$是一个正整数。如果定义在一个包含$a$的区间上的函数$f$在$a$点处$n+1$次可导,那么对于这个区间上的任意$x$都有:$\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{N}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^ n+R_ n(x)$,其中的多项式称为函数在$a$处的泰勒展开式,$R_ n(x)$是泰勒公式的余项且是$(x-a)^ n$的高阶无穷小。

----维基百科

泰勒公式的定义看起来气势磅礴,高端大气。如果$a=0$的话,就是麦克劳伦公式,即$\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{N}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^ n+R_ n(x)$,这个看起来简单一点,我们下面只讨论麦克劳伦公式,可以认为和泰勒公式等价。


1 多项式的函数图像特点

$\displaystyle \sum _{n=0}^{N}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^ n$展开来就是$f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^ n$,$f(0)$,$\frac{f''(0)}{2!}$这些都是常数,我们暂时不管,先看看其中最基础的组成部分,幂函数有什么特点。

可以看到,幂函数其实只有两种形态,一种是关于$Y$轴对称,一种是关于原点对称,并且指数越大,增长速度越大。

那幂函数组成的多项式函数有什么特点呢?

怎么才能让$x^2$和$x^9$的图像特性能结合起来呢?

我们来动手试试看看系数之间如何压制的:

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通过改变系数,多项式可以像铁丝一样弯成任意的函数曲线。送你一颗心(虽然是隐函数,意思一下):


2 用多项式对$e^ x$进行逼近

$e^ x$是麦克劳伦展开形式上最简单的函数,有$e$就是这么任性。

$e^ x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+\cdots + \frac{1}{n!}x^ n + R_ n(x)$

增加一个$\frac{1}{4!}x^4$看看。

增加一个$\frac{1}{5!}x^5$看看。

可以看出,$\frac{1}{n!}x^ n$不断的弯曲着那根多项式形成的铁丝去逼近$e^ x$。并且$n$越大,起作用的区域距离0越远。


3 用多项式对$sin(x)$进行逼近

$sin(x)$是周期函数,有非常多的弯曲,难以想象可以用多项式进行逼近。

$sin(x)=x-\frac{1}{3!}x^3+\cdots +\frac{(-1)^ n}{(2n+1)!}x^{(2n+1)}+ R_ n(x)$。

同样的,我们再增加一个$\frac{1}{7!}x^7$试试。

可以看到$\frac{1}{7!}x^7$在适当的位置,改变了$x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5$的弯曲方向,最终让$x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7$更好的逼近了$sin(x)$。

一图胜前言,动手看看$sin(x)$的展开吧:

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4 泰勒公式与拉格朗日中值定理的关系

拉格朗日中值定理:如果函数$f(x)$满足,在$[a,b]$上连续,在$(a,b)$上可导,那么至少有一点$\theta $($a < \theta < b$)使等式$f'(\theta )=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$成立。

----维基百科

数学定义的文字描述总是非常严格、拗口,我们来看下拉格朗日中值定理的几何意义:

这个和泰勒公式有什么关系?泰勒公式有个余项$R_ n(x)$我们一直没有提。

余项即使用泰勒公式估算的误差,即$\displaystyle f(x)-\sum _{n=0}^{N}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^ n=R_ n(x)$

余项的代数式是,$R_ n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\theta )}{(n+1)!}(x-a)^{(n+1)}$,其中$a < \theta < x$。是不是看着有点像了?

当$N=0$的时候,根据泰勒公式有,$f(x)=f(a)+f'(\theta )(x-a)$,把拉格朗日中值定理中的$b$换成$x$,那么拉格朗日中值定理根本就是$N=0$时的泰勒公式。

结合拉格朗日中值定理,我们来看看$N=0$的时候,泰勒公式的几何意义:

当$N=0$的时候,泰勒公式几何意义很好理解,那么$N=1,2,\cdots $呢?

这个问题我是这么理解的:首先让我们去想象高阶导数的几何意义,一阶是斜率,二阶是曲率,三阶四阶已经没有明显的几何意义了,或许,高阶导数的几何意义不是在三维空间里面呈现的,穿过更高维的时空才能俯视它的含义。现在的我们只是通过代数证明,发现了高维投射到我们平面上的秘密。

还可以这么来思考泰勒公式,泰勒公式让我们可以通过一个点来窥视整个函数的发展,为什么呢?因为点的发展趋势蕴含在导数之中,而导数的发展趋势蕴含在二阶导数之中......四不四很有道理啊?


5 泰勒公式是怎么推导的?

根据“以直代曲、化整为零”的数学思想,产生了泰勒公式。

如上图,把曲线等分为$n$份,分别为$a_1$,$a_2$,$\cdots $,$a_ n$,令$a_1=a$,$a_2=a+\Delta x$,$\cdots $,$a_ n=a+(n-1)\Delta x$。我们可以推出($\Delta ^2$,$\Delta ^3$可以认为是二阶、三阶微分,其准确的数学用语是差分,和微分相比,一个是有限量,一个是极限量):

$f(a_2)=f(a+\Delta x)=f(a)+\Delta f(x)$

$f(a_3)=f(a+2\Delta x)=f(a+\Delta x)+\Delta f(a+\Delta x)=f(a)+2\Delta f(x)+\Delta ^2f(x)$

$f(a_4)=f(a+3\Delta x)=f(a)+4\Delta f(x)+6\Delta ^2f(x)+4\Delta ^3f(x)+\Delta ^4f(x)$

也就是说,f(x)全部可以由$a$和$\Delta x$决定,这个就是泰勒公式提出的基本思想。据此的思想,加上极限$\Delta x \to 0$,就可以推出泰勒公式。


6 泰勒公式的用处

多项式这种函数是我们可以亲近的函数,它们很开放、很坦白,心里想什么就说什么,比如$f(x)=2-3x$,这个多项式会告诉我们想问的任何消息,甚至更多,譬如,我们问:“嘿,老兄,你在4那点的值是多少?”这时$f(x)$会毫不犹豫的回答:“你把4代进来,就会得到$2-3\times 4=-10$,顺便告诉你,我最近长了奇怪的疹子,痒的要命,还好这两天症状减轻了...”。但是$ln(x)$阴暗、多疑,要是问它:“嗨,你在3的值是多少啊?”你得到的答案可能是:“你要干什么?为什么打听别人的私事?你以为凭着你那点加减乘除的三脚猫功夫就可以查出我的底细?况且我在3的值是多少,干你什么事!”

----《微积分之倚天宝剑》

泰勒公式最直接的一个应用就是用于计算,计算机一般都是把$sin(x)$进行泰勒展开进行计算的。

泰勒公式还可以把问题简化,比如计算,$\displaystyle \lim _{x \to 0}\frac{sin(x)}{x}$,代入$sin(x)$的泰勒展开有: $\displaystyle \lim _{x \to 0}\frac{sin(x)}{x}=\lim _{x \to 0}\frac{x+o(x^3)}{x}=1$,其中$o(x^3)$是泰勒公式里面的余项,是高阶无穷小,$\displaystyle \lim _{x \to 0}o(x^3)=0$。解题神器有没有?

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