“广义相对论的钥匙:张量”专题之三

“张量”是广义相对论的钥匙,用来表示与坐标无关的量。
之前的章节:
上一节,我们研究了向量空间以及其中的向量:
向量空间的基和向量都是张量:
下面来介绍线性代数中另外一个重要组成部分,余向量以及对偶空间。
1 余向量
1.1 什么是余向量(covector)?
空间中的直线、平面这些“线性”的几何对象,也是线性代数所关心的。
比如平面中的一条直线,很显然与坐标无关,是一个几何对象:
此直线在不同的基下有不同的代数表示:
直线符合之前说的张量的特点:
  • 直线是一个几何对象,它与基无关
  • 不同的基下,有不同的代数表达
  • 并且,不同的坐标值之间有明确的转换规则
表示直线、平面这些“线性”的几何对象的就是余向量,也是张量的一种。
1.2 余向量的细节
刚才的直线,在直角坐标系下:
对应的直线方程为:
在正交单位基下,可以用这个式子来表示:
此处,可认为行向量,就代表了这根直线,也就是所谓的余向量。
更严格来说,应该把余向量看作表示这根直线的线性函数:
给行向量一个符号:
那么,这样表示看着是不是更像函数:
值得注意的是,余向量是的话,它代表的线性函数并没有指定等号右边必须为0:
实际上,它代表了所有平行的直线。
写成线性函数的样子就是这样的:
1.3 余向量的几何表示方法
介绍一下余向量的几何表示方法,还是拿余向量来说事吧。
提醒一下,是在单位正交基下得到的,所以下面的几何表示方法也是在单位正交基下。
余向量表示的是一系列平行的直线,所以把这些平行的直线都画出来(为了不显得太乱,只画出单位正交基,不画出网格了):
下面和右面标出的数字指明了是哪一根直线,比如:
上图数字6对应的就是下面这根直线:
如果有某个向量和其中一根直线相交,比如:
向量和直线3相交,这是因为:
这样的几何表示方法可以帮助后面更好的理解和展示余向量。
2 对偶空间
2.1 余向量的线性组合
我们来定义一下余向量的:
  • 数乘:
  • 加法:
其中是余向量。
这样定义是合理的、自洽的,用具体的值来试算一下,令:
数乘:
加法:
从几何直观来看,对应的直线是:
对应的直线是:
对应的直线是:
可以认为这根直线是之前两根直线的线性组合。
2.2 对偶空间
向量空间定义是这样的:

为一向量组,如果非空,且对于向量的加法及数乘两种运算封闭,那么就称为向量空间。

所谓封闭,是指在中向量进行数乘和加减,其结果依然在中。具体的说,就是:
  • ,则
  • ,则

也就是说,向量空间是对向量的数乘和加法封闭的空间。
同样的道理,有个数乘和加法之后就可以定义对偶空间了。
对于余向量的数乘和加法封闭的空间,称为对偶空间,一般记为(其实余向量也是向量,对偶空间也是向量空间)。
3 坐标转换
3.1 余向量的基
对于向量而言:
首先要把向量用基来表示,才能去讨论如何进行坐标转换:
所以要谈论余向量在不同坐标下的表示:
首先要定义出余向量的基。
说来也简单,定义这样一个线性函数作为余向量的基(余向量的基用的是上标,也就是说它是逆变量,这个后面再解释):
上面用来表示余向量的基,看着和向量的基有点像,但是又可以区分开来。
这样的定义也不难理解,对于单位正交基下的余向量,它的基是:
验算一下:
可见,这样的定义是符合直觉的。之前我们的余向量也可以用基的线性组合来表示:
为了更方便记忆,引入一个函数,可见我们只需要关心是否相等:
来看下这两个基的几何表示(标出方便知道哪边是正、哪边是负):
与直线交于1,与直线交于0,是符合之前关于余向量的基的定义的。
另外一个基:
余向量用基的线性组合来表示:
上面是用单位正交基来举的例子,后面我用代数推一下,证明余向量可以被基线性表示。
3.2 余向量的基作用在向量上
先来算一下,余向量的基和向量之间的计算结果是什么?
同理:
看来,余向量的基有把坐标的分量分离出来的作用:
这点从几何上也可以看出,比如,这个向量与交于
交于:
上面这个向量确实就是:
3.3 余向量通过基来表示
把之前的余向量用符号来表示:
看看它是怎么作用到向量上的: