“广义相对论的钥匙：张量”专题之三
“张量”是广义相对论的钥匙，用来表示与坐标无关的量。
之前的章节：
上一节，我们研究了向量空间以及其中的向量：
向量空间的基和向量都是张量：
下面来介绍线性代数中另外一个重要组成部分，余向量以及对偶空间。
1.1 什么是余向量（covector）？
空间中的直线、平面这些“线性”的几何对象，也是线性代数所关心的。
比如平面中的一条直线，很显然与坐标无关，是一个几何对象：
此直线在不同的基下有不同的代数表示：
直线符合之前说的张量的特点：
-
直线是一个几何对象，它与基无关
-
不同的基下，有不同的代数表达
-
并且，不同的坐标值之间有明确的转换规则
表示直线、平面这些“线性”的几何对象的就是余向量，也是张量的一种。
1.2 余向量的细节
刚才的直线，在直角坐标系下：
对应的直线方程为：
在正交单位基下，可以用这个式子来表示：
此处，可认为行向量
更严格来说，应该把余向量看作表示这根直线的线性函数：
给行向量一个符号：
那么，这样表示看着是不是更像函数：
值得注意的是，余向量是
实际上，它代表了所有平行的直线。
写成线性函数的样子就是这样的：
1.3 余向量的几何表示方法
介绍一下余向量的几何表示方法，还是拿余向量
提醒一下，
余向量表示的是一系列平行的直线，所以把这些平行的直线都画出来（为了不显得太乱，只画出单位正交基，不画出网格了）：
下面和右面标出的数字指明了是哪一根直线，比如：
上图数字6对应的就是下面这根直线：
如果有某个向量和其中一根直线相交，比如：
向量
这样的几何表示方法可以帮助后面更好的理解和展示余向量。
2.1 余向量的线性组合
我们来定义一下余向量的：
-
数乘：
-
加法：
其中
这样定义是合理的、自洽的，用具体的值来试算一下，令：
数乘：
加法：
从几何直观来看，
而
而
可以认为这根直线是之前两根直线的线性组合。
2.2 对偶空间
向量空间定义是这样的：
设
所谓封闭，是指在
-
若
，则 -
若
，则
也就是说，向量空间
同样的道理，有个数乘和加法之后就可以定义对偶空间了。
对于余向量的数乘和加法封闭的空间，称为对偶空间，一般记为
3.1 余向量的基
对于向量而言：
首先要把向量用基来表示，才能去讨论如何进行坐标转换：
所以要谈论余向量在不同坐标下的表示：
首先要定义出余向量的基。
说来也简单，定义这样一个线性函数作为余向量的基（余向量的基用的是上标，也就是说它是逆变量，这个后面再解释）：
上面用
这样的定义也不难理解，对于单位正交基下的余向量
验算一下：
可见，这样的定义是符合直觉的。之前我们的余向量也可以用基的线性组合来表示：
为了更方便记忆，引入一个函数，可见我们只需要关心
来看下这两个基的几何表示（标出
另外一个基：
余向量用基的线性组合来表示：
上面是用单位正交基来举的例子，后面我用代数推一下，证明余向量可以被基线性表示。
3.2 余向量的基作用在向量上
先来算一下，余向量的基和向量之间的计算结果是什么？
同理：
看来，余向量的基有把坐标的分量分离出来的作用：
这点从几何上也可以看出，比如，这个向量与
与
上面这个向量确实就是：
3.3 余向量通过基来表示
把之前的余向量用符号来表示：
看看它是怎么作用到向量上的：
令：
其中，
并且根据刚才的结论：
所以上式可以变为：
可见余向量可以由余向量的基来线性表示：
其中：
3.4 小结
停顿下，至此，得到了下面这些结论，注意，虽然上面举例子画图用的是单位正交基，但是下面的结论对所有基都成立。
余向量的基的定义：
余向量与向量之间的作用：
余向量用基来表示（用了爱因斯塔标记法，把
其中：
终于做好准备了，让我们看看在不同基下余向量应该怎么转换吧。
4.1 明确目标
用实际的例子进行说明，在这两个基下，余向量应该怎么表示：
上图中的左边的基就是单位正交基，代数形式为：
上图中的右边的基为：
两个基的转换图为：
转换矩阵具体是：
4.2 余向量的转换
根据之前我们得出的结论：
其中：
可知，余向量的坐标可以由余向量与基来决定。
根据这个结论，其实可以通过几何看出余向量是什么。比如，之前
在我们关心的另外一个基下：
从代数上这么求：
转回来可以这么算：
余向量的转换图为：
余向量的改变与向量的基改变是一致的，因此是协变量。
给一副动图，可以看出确实是协变量：
至此，可以用爱因斯塔标记法表示出余向量：
4.3 余向量的基的转换
向量的基和向量之间的转换是反的，可以这么想象，基变长了，那么要表示同一个点，坐标自然需要变小，来补偿这个变化。
同理，余向量的基和余向量之间的转换也是反的，余向量的基是逆变量：
本文介绍了什么是余向量以及余向量的基，新得到两个张量：
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