从傅立叶级数到傅立叶变换
傅立叶变换，是傅立叶级数的推广。
之前写过两篇关于傅立叶变换的文章：
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如何理解傅立叶级数公式？（后面此文简称“代数细节”）
傅立叶级数是针对周期函数的，为了可以处理非周期函数，需要傅立叶变换。如果对傅立叶级数有疑问，请参看“代数细节”一文。
先看下思路：
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(a).周期函数，可以通过傅立叶级数画出频域图
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(b).增长周期，频域图变得越来越密集
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(c).
，得到傅立叶变换，频域图变为连续的曲线
下面是细节的讲解。
让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶男爵（1768 －1830）猜测任意周期函数都可以写成三角函数之和。比如下面这个周期为
1.1 傅立叶级数是向量
从代数上看，傅立叶级数就是通过三角函数和常数项来叠加逼近周期为
在“代数细节”一文中解释了，实际上是把
那么上面的式子就可以解读为：
说具体点，比如刚才提到的，
从几何上看，有那么一丁点相似：
我们可以认为：
此函数的基为：
则
画到图上如下，注意坐标轴不是
1.2 频域图
再增加几个三角函数：
从几何上看，肯定更接近了：
此时基为：
对应的向量为：
六维的向量没有办法画图啊，没关系，数学家发明了一个频域图来表示这个向量：
上图中的
而高度则代表在这个频率上的振幅，也就是这个基上的坐标分量。
这里举的例子只有正弦函数，余弦函数其实也需要这样一个频谱图，也就是需要两个频谱图。当然还有别的办法，综合正弦和余弦，这个后面再说。
原来的曲线图就称为时域图（这点请参考“代数细节”），往往把时域图和频域图画在一起，这样能较为完整的反映傅立叶级数：
不管时域、频域其实反映的都是同一个曲线，只是一个是用函数的观点，一个是用向量的观点。
当习惯了频域之后，会发现看到频域图，似乎就看到了傅立叶级数的展开：
非周期函数，比如下面这个函数可以写出傅立叶级数吗？
这并非一个周期函数，没有办法写出傅立叶级数。
不过可以变换一下思维，如果刚才的方波的周期：
那么就得到了这个函数：
在这样的思路下，就可以使用三角级数来逼近这个函数：
观察下频域，之前说了，对于周期为
刚才举的方波
对应的频率就是：
按照刚才的思路，如果
对应的频率就是：
和刚才相比，频率更加密集：
之前的方波的频域图，画了前50个频率，可以看到，随着
可以想象，如果真的：
这些频率就会变得稠密，直至连续，变为一条频域曲线：
傅立叶变换就是，让
之前说了，傅立叶级数是：
这里有正弦波，也有余弦波，画频域图也不方便，通过欧拉公式，可以修改为复数形式（请参考“代数细节”一文）：
其中：
复数形式也是向量，可以如下解读：
不过
周期推向无穷的时候可以得到：
上面简化了一下，用
下面两者称为傅立叶变换对，可以相互转换：
正如之前说的，这是看待同一个数学对象的两种形式，一个是函数，一个是向量。
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