如何理解拉普拉斯变换?

拉普拉斯变换是对傅立叶变换的推广。
拉普拉斯变换是对傅立叶变换的推广,关于傅立叶变换,之前写过三篇文章,可供参考:
1 傅立叶变换简介
简单介绍下傅立叶变换。
1.1 直角坐标、极坐标
大家知道,直角坐标系、极坐标系之间可以相互转换:
在直角坐标系下,圆的方程为:
图示如下:
在极坐标系下,同样的圆的方程为:
图示如下:
如果换到坐标系下:
是不是看上去很简单了,从圆变为了一条直线。
同一个数学对象,在不同坐标系中,有不同的表达形式:
1.2 傅立叶变换
傅立叶变换和直角坐标、极坐标的情况类似,相当于换了坐标系。
矩形波在时域“坐标系”中是这样的:
代数形式如下:
在频域“坐标系”中的图像如下:
代数形式如下(傅立叶变换有很多形式,本文采用下面这种形式):
也是同一个数学对象,在不同“坐标系”中,有不同的表达方式:
正如在某些情况下,极坐标可以带来计算上的便利,傅立叶变换也可以带来计算上的便利。傅立叶变换难以理解,是因为它所在的“坐标系”更抽象。
2 拉普拉斯变换
傅立叶变换虽然好,但是有一些局限性。我们来看看傅立叶变换的代数式:
其中,是复平面上绕单位圆旋转的一个向量(点):
总之它是一个有界量。那么上面式子要可积,至少得:
那,如果,比如说这样:
这个的傅立叶变换就没有办法积,是不是非要放弃如此便利的傅立叶变换?
数学家当然不会屈服,至少可以想办法把这个图像拉下来一半:
这样:
为了更好的适应的各种情况(比如增长较快,就扶不住),一般会这么处理:
那么下面积分就可以积了:
令:
其实就是复数了,那么得到:
这就是拉普拉斯变换
当然这个扩展也是付出了代价的,只能在上积分,不过影响不大:
3 变幅三角函数
还可以从另外一个角度来看待拉普拉斯变化。
对应的是等幅三角函数(这里用的是而不是,请参考“如何理解傅立叶级数公式?”):
对应的是变幅的、并且振幅越来越大的三角函数: