向量空间是为线性代数准备的舞台。而演员,就是矩阵。
电视机成像的原理大概是,通过一把电子枪,把电子打到屏幕上:
不过对于这样的彩色图片:
根据之前对色彩空间的介绍,可以把这幅图片以
然后使用三把电子枪,分别是
但是,电视台那边过来的信号不是
这点从我们电视背后的接口就可以看出,在下图中标注的色差接口,即
下面是放大了的
这是有原因的,因为最早的电视是黑白电视,升级到彩色电视,但是依然要保持对黑白电视的兼容,
假如你是黑白电视,背后应该就只有一个视频输入接口,只需插入电视台过来的
但是,如果是彩色电视,那么得到电视台传过来的
这个方程组怎么解呢?
已知
之前的方程不好计算了,我们举一个简单的例子:
从几何上来讲,两个方程都是直线,求解方程组就是找到两根直线的交点:
因为都是直线,所以我们称为线性方程组。
求解的思路几乎是句废话,即找到交点的
也就是把方程化成这个样子:
这就是高斯消元法的目标。
要达到这个目标,高斯消元法的思路是,用第一行把这些给消了:
用第二行把这些给消了:
反过来,用第三行把这些给消了:
反过来,用第二行把这些给消了:
最后,达到目标:
下面我们看看怎么用高斯消元法来解。
先标注一下方程组,
其中,
我们得到新的方程组:
按照这个思路,完整的解题过程如下:
至此,解出答案:
英国数学家阿瑟·凯莱(1821-1895)对于看似简单的高斯消元法进行了研究,得出了惊人的结果。
他当时研究矩阵的动机出于对线性方程组计算的简化。
比如,下面是一个线性方程组:
对于这样一个线性方程组,在固定未知数的顺序(
按照上面的规定,方程组可以简写为如下数块:
用数块来表示。
在保证顺序且每个未知数都出现的原则下,原方程组可改写为:
因此,方程组写成数块形式为:
我们开始用凯莱的方法进行高斯消元法。
还是解之前的方程组:
将方程组简化为数块:
之前说过,高斯消元法的目标是:
写完整点就是:
因此我们的目标就是要把数块变成下面这个样子:
对应之前的高斯消元法:
得到结果:
正如你看到的,解起来并不复杂,但是要将过程描述清楚却很繁琐,这很不数学。
能不能更优雅的展现这个过程呢?
数学家发明了一种数块的乘法,简洁地进行高斯消元法。
对于:
用数块乘法表示为:
对于:
它表达了两个过程:
用数块乘法表示为:
即按照单行乘法的规则,只是第一行运算的结果放在第一行,第二行运算的结果放在第二行:
有了这个运算规则后,整个高斯消元法就可以表示如下:
至此,得到答案:
可见,数块以及对应的加法、乘法,在高斯消元法的过程中,非常简洁清楚易用。
阿瑟·凯莱在1858年的《矩阵理论纪要》的论文中,给这个数块以合法的数学地位,取了一个名字:矩阵。
数
行数与列数都等于
只有一行的矩阵:
称为行矩阵,又称行向量。
只有一列的矩阵:
称为列矩阵,又称列向量。
已知矩阵
矩阵
则矩阵
将矩阵
而
则
下面我们用高斯消元法来解方程:
解方程组:
解方程组的过程如下:
则:
计算后得到: