从高斯消元法到矩阵乘法

矩阵、矩阵乘法最初出现的目的就是为了解线性方程组。

向量空间是为线性代数准备的舞台。而演员,就是矩阵。

1 色彩空间

电视机成像的原理大概是,通过一把电子枪,把电子打到屏幕上:

不过对于这样的彩色图片:

根据之前对色彩空间的介绍,可以把这幅图片以为基,分为三张图片:

然后使用三把电子枪,分别是,来呈现出彩色的画面:

但是,电视台那边过来的信号不是,而是把进一步转换为了,然后进行传输,其中是对色彩空间的另外一种分解方式:

这点从我们电视背后的接口就可以看出,在下图中标注的色差接口,即,其实就是(两者的区别不是在色彩分解上,而是电视成像技术中的“逐行扫描”以及“隔行扫描”。也有资料说,一个是数字信号,一个是模拟信号,仅供参考):

下面是放大了的分解,第二幅图就是灰度图,也就是

这是有原因的,因为最早的电视是黑白电视,升级到彩色电视,但是依然要保持对黑白电视的兼容,中的正好是灰度图,可以让黑白电视成像。

假如你是黑白电视,背后应该就只有一个视频输入接口,只需插入电视台过来的信号就可以观看了。

但是,如果是彩色电视,那么得到电视台传过来的信号,就需要解如下方程组得到,给三把电子枪使用:

这个方程组怎么解呢?

2 高斯消元法

已知实际是一个线性方程组,解这种方程组有一个通用的办法,高斯消元法。

2.1 高斯消元法的目标

之前的方程不好计算了,我们举一个简单的例子:

从几何上来讲,两个方程都是直线,求解方程组就是找到两根直线的交点:

因为都是直线,所以我们称为线性方程组。

求解的思路几乎是句废话,即找到交点的坐标:

也就是把方程化成这个样子:

这就是高斯消元法的目标。

2.2 高斯消元法的思路

要达到这个目标,高斯消元法的思路是,用第一行把这些给消了:

用第二行把这些给消了:

反过来,用第三行把这些给消了:

反过来,用第二行把这些给消了:

最后,达到目标:

2.3 例子

下面我们看看怎么用高斯消元法来解。

先标注一下方程组,表示第一行,表示第二行:

表示新的第一行,表示新的第二行,我们进行以下操作:

其中,的意思就是:

我们得到新的方程组:

按照这个思路,完整的解题过程如下:

至此,解出答案:

3 标记法

英国数学家阿瑟·凯莱(1821-1895)对于看似简单的高斯消元法进行了研究,得出了惊人的结果。

他当时研究矩阵的动机出于对线性方程组计算的简化。

比如,下面是一个线性方程组:

对于这样一个线性方程组,在固定未知数的顺序(出现在第一个位置,出现在第二个位置,常数在等号右边)后,且保证每个未知数都出现(不出现时,系数为0),方程组就只需要系数来表示了。

按照上面的规定,方程组可以简写为如下数块:

3.1 练习题

:将

用数块来表示。

:

在保证顺序且每个未知数都出现的原则下,原方程组可改写为:

因此,方程组写成数块形式为:

4 凯莱的高斯消元法

我们开始用凯莱的方法进行高斯消元法。

4.1 方程简化

还是解之前的方程组:

将方程组简化为数块:

之前说过,高斯消元法的目标是:

写完整点就是:

因此我们的目标就是要把数块变成下面这个样子:

对应之前的高斯消元法:

得到结果:

正如你看到的,解起来并不复杂,但是要将过程描述清楚却很繁琐,这很不数学。

能不能更优雅的展现这个过程呢?

4.2 数块乘法

数学家发明了一种数块的乘法,简洁地进行高斯消元法。

4.2.1 单行乘法

对于:

用数块乘法表示为:

4.2.2 多行乘法

对于:

它表达了两个过程:


  • 第一行不变:
  • 第二行改变:

用数块乘法表示为:

即按照单行乘法的规则,只是第一行运算的结果放在第一行,第二行运算的结果放在第二行:

4.3 过程简化

有了这个运算规则后,整个高斯消元法就可以表示如下:

至此,得到答案:

可见,数块以及对应的加法、乘法,在高斯消元法的过程中,非常简洁清楚易用。

5 矩阵的定义

阿瑟·凯莱在1858年的《矩阵理论纪要》的论文中,给这个数块以合法的数学地位,取了一个名字:矩阵

5.1 矩阵
个数排成的列的数表称为列矩阵,简称矩阵。为表示它是一个整体,总是加一个括弧,并用大写黑体字母表示它,记做个数称为矩阵的元素。
5.2 矩阵简写

位于矩阵的第列,称为矩阵元。以数元的矩阵记做

矩阵也记做

5.3 行矩阵与列矩阵

行数与列数都等于的矩阵称为阶矩阵或阶方阵。

只有一行的矩阵:

称为行矩阵,又称行向量。

只有一列的矩阵:

称为列矩阵,又称列向量。

6 练习题
练习题

已知矩阵

矩阵

则矩阵为:

将矩阵看作方程组

的结果可以看做求得方程组的解。

就是解方程组的过程。

下面我们用高斯消元法来解方程:

解方程组:

解方程组的过程如下:

则:

计算后得到:

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